Какой будет путь S, пройденный телом до остановки, если масса маленького тела m = 1кг, и оно движется без начальной

Чтобы решить эту задачу, мы можем использовать уравнение второго закона Ньютона, которое гласит:

\[F = m \cdot a\]

где F - сила, действующая на тело, m - масса тела, а a - ускорение.

В данном случае нам известно, что сила F равна \(β - γ \cdot t\), где β = 2 Н и γ = 1 Н/с. Масса маленького тела m равна 1 кг.

Мы хотим найти путь S, пройденный телом до остановки. Чтобы найти этот путь, нам нужно знать функцию скорости v(t) тела в зависимости от времени t. Затем мы можем проинтегрировать эту функцию скорости, чтобы найти путь S.

Для нахождения функции скорости v(t) мы можем использовать второй закон Ньютона и заметить, что \(F = m \cdot a = m \cdot \frac{\partial v}{\partial t}\), где \(\frac{\partial v}{\partial t}\) - производная скорости по времени.

Теперь, подставляя изначальное выражение для F, мы имеем: \(m \cdot \frac{\partial v}{\partial t} = β - γ \cdot t\).

Чтобы решить это дифференциальное уравнение, мы можем проинтегрировать обе стороны по времени:

\(\int m \cdot \frac{\partial v}{\partial t} \, dt = \int (β - γ \cdot t) \, dt\).

Интегрирование левой стороны даст нам: \(m \cdot v(t) + C_1\), где \(C_1\) - постоянная интегрирования.

Интегрирование правой стороны даст нам: \(β \cdot t - \frac{γ \cdot t^2}{2} + C_2\), где \(C_2\) - другая постоянная интегрирования.

Теперь мы можем сравнить левую и правую части уравнения и найти значения констант C1 и C2. Нам известно, что начальная скорость равна нулю (тело движется без начальной скорости), поэтому \(v(0) = 0\). Подставляя это в уравнение, мы получим \(C_1 = 0\).

Также нам дано, что тело движется до остановки, значит скорость тела становится нулевой в какой-то момент времени t_stop. Подставляя это условие в уравнение для скорости, мы получим \(β \cdot t_{stop} - \frac{γ \cdot t_{stop}^2}{2} + C_2 = 0\).

Теперь у нас есть два уравнения для нахождения констант C1 и C2:

1. \(C_1 = 0\)
2. \(β \cdot t_{stop} - \frac{γ \cdot t_{stop}^2}{2} + C_2 = 0\)

Используя эти уравнения, мы можем найти значения C1 и C2.

Теперь, чтобы найти путь S, проинтегрируем скорость v(t). Имеем:

\(S = \int v(t) \, dt\).

Подставляем значение скорости v(t) и производим интегрирование:

\(S = \int (β \cdot t - \frac{γ \cdot t^2}{2} + C_2) \, dt\).

Вычисляем этот интеграл и получаем окончательное выражение для пути S:

\[S = \frac{1}{2} \cdot β \cdot t^2 - \frac{1}{6} \cdot γ \cdot t^3 + C_2 \cdot t + C_3\]

где \(C_3\) - третья постоянная интегрирования.

Таким образом, чтобы найти путь S, пройденный телом до остановки, вам необходимо знать время остановки t_stop и значения констант C2 и C3.