Каковы значения угловой скорости w, линейной скорости V, тангенциального ускорения At и нормального ускорения

Хорошо! Давайте посмотрим на данную задачу. Чтобы определить значения угловой скорости \(w\), линейной скорости \(V\), тангенциального ускорения \(A_t\) и нормального ускорения \(A_n\) частицы на окружности, нам понадобится знать уравнение пути \(p(t)\), заданное как \(p(t) = 5t^3-2t+4\), и радиус окружности \(R = 5\, \text{м}\).

Первым шагом мы рассмотрим угловую скорость \(\omega\). Угловая скорость - это скорость изменения угла поворота. Для частицы, движущейся по окружности, угловая скорость равна отношению изменения угла \(\Delta \varphi\) к изменению времени \(\Delta t\). Формула для угловой скорости \(\omega\) связана с линейной скоростью \(V\) и радиусом окружности \(R\) следующим образом: \(\omega = \frac{V}{R}\).

Далее, для определения линейной скорости \(V\) нам понадобится знать уравнение пути \(p(t)\). Мы знаем, что линейная скорость \(V\) - это скорость изменения пути \(p(t)\) относительно времени \(t\). Математически, линейная скорость \(V(t)\) связана с производной \(p"(t)\) уравнения пути \(p(t)\) следующим образом: \(V(t) = \frac{{dp(t)}}{{dt}}\).

Теперь перейдем к тангенциальному ускорению \(A_t\). Тангенциальное ускорение - это скорость изменения линейной скорости \(V\) относительно времени \(t\). Математически, тангенциальное ускорение \(A_t(t)\) определяется как производная \(V"(t)\) линейной скорости \(V(t)\) по времени \(t\): \(A_t(t) = \frac{{dV(t)}}{{dt}}\).

И наконец, нормальное ускорение \(A_n\) - это скорость изменения направления линейной скорости \(V\) относительно времени \(t\). В нашем случае, поскольку частица движется по окружности, нормальное ускорение всегда направлено к центру окружности и его величина равна \(\frac{{V^2}}{{R}}\).

Теперь, когда мы разобрались с каждой составляющей, решим данную задачу:

1. Для начала найдем угловую скорость \(w\). Используем формулу \(\omega = \frac{V}{R}\). Подставим значения радиуса \(R = 5\, \text{м}\) и линейной скорости \(V\) (которую найдем на следующем шаге).

2. Чтобы найти линейную скорость \(V\), найдем производную \(p"(t)\) уравнения пути \(p(t)\) и подставим значение времени \(t = 1\, \text{c}\) в полученное выражение.

3. Для нахождения тангенциального ускорения \(A_t\), найдем производную \(V"(t)\) линейной скорости \(V(t)\) и также подставим значение времени \(t = 1\, \text{c}\).

4. Наконец, вычислим нормальное ускорение \(A_n\) с помощью формулы \(A_n = \frac{{V^2}}{{R}}\), где \(V\) - найденная линейная скорость.

После проведенных вычислений, мы получим значения угловой скорости \(w\), линейной скорости \(V\), тангенциального ускорения \(A_t\) и нормального ускорения \(A_n\) частицы на окружности в указанной точке времени \(t = 1\, \text{c}\). А также, для наглядности, мы можем изобразить направление этих векторов на окружности для лучшего понимания.

Позвольте сначала выполнить все необходимые вычисления.