Як притягується пилинка зарядкою струму +2·10-6Кл на кульці з діелектричною проникністю ε=2,1, прилипаючи з силою 4мН?

Щоб знайти заряд пилинки, використаємо закон притягування електростатичних зарядів, який можемо записати як \(F=k\dfrac{{|q_1q_2|}}{{r^2}}\), де \(F\) - сила притягування, \(k\) - електростатична константа \(k=\dfrac{1}{{4\pi\epsilon_0}}\), \(q_1\) та \(q_2\) - заряди тіл, які взаємодіють, \(r\) - відстань між цими зарядами, а \(\epsilon_0\) - електрична стала вакууму.

Нехай \(q_1\) - заряд на кульці, \(q_2\) - заряд пилинки, \(F\) - сила притягування, \(r\) - відстань. Звідси випливає, що сила притягування між цими зарядами рівна силі ваги пилинки:

\[F = m \cdot g\]

де \(m\) - маса пилинки, \(g\) - прискорення вільного падіння. Нехай маса пилинки дуже маленька, тому прискорення вільного падіння можна вважати постійним.

Тоді, ми можемо записати:

\[k \cdot \dfrac{{|q_1q_2|}}{{r^2}} = m \cdot g \tag{1}\]

Також, відомо, що заряд пилинки \(q_2 = 2 \cdot 10^{-6} \, \text{Кл}\) та діелектрична проникність \(\epsilon = 2.1\).

Згідно комплексного моделювання основних процесів зарядження об"єктів зразків диелектричними полями, можна визначити заряд на кульці, якщо заряд пилинки відому, як

\[q_1 = \dfrac{{q_2}}{{\epsilon}} \tag{2}\]

Підставимо значення \(q_2\) і \(\epsilon\) в рівняння (2), щоб знайти \(q_1\):

\[q_1 = \dfrac{{2 \cdot 10^{-6}}}{{2.1}}\]

Обчисляємо:

\[q_1 = 0.952 \cdot 10^{-6} \, \text{Кл}\]

Тепер, ми можемо підставити дані у рівняння (1), щоб знайти відстань \(r\):

\[k \cdot \dfrac{{|q_1q_2|}}{{r^2}} = m \cdot g\]

Але відомо, що сила притягування між цими зарядами рівна силі ваги пилинки \(F = m \cdot g\).

Отже, рівняння приймає вигляд:

\[k \cdot \dfrac{{|q_1q_2|}}{{r^2}} = F\]

Підставимо відомі значення:

\[k \cdot \dfrac{{|0.952 \cdot 10^{-6} \cdot 2 \cdot 10^{-6}|}}{{r^2}} = 4 \cdot 10^{-3}\]

Тепер, відомо, що електростатична константа \(k = \dfrac{1}{{4\pi \cdot 8.85 \cdot 10^{-12}}}\). Підставимо значення:

\[\dfrac{{1}}{{4\pi \cdot 8.85 \cdot 10^{-12}}} \cdot \dfrac{{|0.952 \cdot 10^{-6} \cdot 2 \cdot 10^{-6}|}}{{r^2}} = 4 \cdot 10^{-3}\]

Випростаємо рівняння:

\[\dfrac{{|0.952 \cdot 2|}}{{r^2}} = \dfrac{{4 \cdot 10^{-3}}}{{\dfrac{{1}}{{4\pi \cdot 8.85 \cdot 10^{-12}}}}}\]

Обчислюємо, щоб знайти \(r^2\):

\[\dfrac{{0.952 \cdot 2}}{{r^2}} = \dfrac{{4 \cdot 10^{-3}}}{{\dfrac{{1}}{{4\pi \cdot 8.85 \cdot 10^{-12}}}}}\]

Перепишемо рівняння для \(r^2\):

\[\dfrac{{0.952 \cdot 2}}{{r^2}} = \dfrac{{4 \cdot 10^{-3}} \cdot 4\pi \cdot 8.85 \cdot 10^{-12}}}{{1}}\]

Зводимо дріб до простішого вигляду:

\[r^2 = \dfrac{{0.952 \cdot 2}}{{4 \cdot 10^{-3}} \cdot 4\pi \cdot 8.85 \cdot 10^{-12}}\]

Обчислюємо:

\[r^2 = \dfrac{{0.952 \cdot 2}}{{4 \cdot 10^{-3}} \cdot 4\pi \cdot 8.85 \cdot 10^{-12}}\]

\[r^2 = \dfrac{{0.952 \cdot 2}}{{4 \cdot 4\pi \cdot 8.85 \cdot 10^{-3}}} \cdot \dfrac{{1}}{{1 \cdot 10^{-12}}}\]

Обчислюємо:

\[r^2 = \dfrac{{0.952 \cdot 2 \cdot 10^{12}}}{{1.44 \cdot \pi \cdot 8.85}}\]

\[r^2 \approx 1.343 \cdot 10^{11}\]

Отже, отримане значення \(r^2\) дорівнює приблизно \(1.343 \cdot 10^{11}\).

Щоб знайти відстань \(r\), візьмемо квадратний корінь з \(r^2\):

\[r \approx \sqrt{1.343 \cdot 10^{11}}\]

\[r \approx 1.159 \cdot 10^6 \, \text{м}\]

Отже, при невеликій відстані, пилинка заряджається до \(0.952 \cdot 10^{-6} \, \text{Кл}\), коли знаходиться навпроти кульки на відстані близько \(1.159 \cdot 10^6 \, \text{м}\).