Каковы значения тригонометрических функций угла α, если: 1. α равно 56/65 и α находится в диапазоне от 0 до Пи/2?

1. Для решения этой задачи, нам понадобится знание значений тригонометрических функций основных углов. Воспользуемся определением тригонометрических функций для острого угла в прямоугольном треугольнике.

По определению, синус \( \sin(\alpha) \) угла α равен отношению противолежащего катета к гипотенузе, косинус \( \cos(\alpha) \) угла α равен отношению прилежащего катета к гипотенузе, а тангенс \( \tan(\alpha) \) угла α равен отношению противолежащего катета к прилежащему катету.

2. Поскольку угол α находится в диапазоне от 0 до \( \frac{\pi}{2} \), это означает, что он является острым углом в прямоугольном треугольнике. Поэтому, мы можем использовать определения тригонометрических функций в прямоугольном треугольнике для нахождения их значений.

Теперь решим задачу поэтапно:

1. Для угла α равного \( \frac{56}{65} \), найдем противолежащий и прилежащий катеты в прямоугольном треугольнике.

Противолежащий катет равен числителю дроби, то есть 56, а гипотенуза равна знаменателю, то есть 65.

Таким образом, \( \sin(\alpha) = \frac{56}{65} \) и \( \cos(\alpha) = \frac{\sqrt{65^2 - 56^2}}{65} \).

Мы можем найти значение \( \cos(\alpha) \) используя теорему Пифагора: \( \cos(\alpha) = \frac{\sqrt{65^2 - 56^2}}{65} \).

Наконец, \( \tan(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} = \frac{\frac{56}{65}}{\frac{\sqrt{65^2 - 56^2}}{65}} = \frac{56}{\sqrt{65^2 - 56^2}} \).

Подставляя численные значения, получаем \( \sin(\alpha) \approx 0.8627 \), \( \cos(\alpha) \approx 0.5050 \), \( \tan(\alpha) \approx 1.7060 \).

2. Для угла α равного \( \frac{80}{89} \), найдем противолежащий и прилежащий катеты в прямоугольном треугольнике.

Противолежащий катет равен числителю дроби, то есть 80, а прилежащий катет равен знаменателю, то есть 89.

Таким образом, \( \sin(\alpha) = \frac{80}{89} \) и \( \cos(\alpha) = \frac{\sqrt{89^2 - 80^2}}{89} \).

Мы можем найти значение \( \cos(\alpha) \) используя теорему Пифагора: \( \cos(\alpha) = \frac{\sqrt{89^2 - 80^2}}{89} \).

Наконец, \( \tan(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} = \frac{\frac{80}{89}}{\frac{\sqrt{89^2 - 80^2}}{89}} = \frac{80}{\sqrt{89^2 - 80^2}} \).

Подставляя численные значения, получаем \( \sin(\alpha) \approx 0.8989 \), \( \cos(\alpha) \approx 0.4380 \), \( \tan(\alpha) \approx 2.0528 \).

Итак, значения тригонометрических функций угла α, когда 1) α равно \( \frac{56}{65} \) и 2) α равно \( \frac{80}{89} \), находящегося в диапазоне от 0 до \( \frac{\pi}{2} \), соответственно, будут приближенно равны:

1) \( \sin(\alpha) \approx 0.8627 \), \( \cos(\alpha) \approx 0.5050 \), \( \tan(\alpha) \approx 1.7060 \).
2) \( \sin(\alpha) \approx 0.8989 \), \( \cos(\alpha) \approx 0.4380 \), \( \tan(\alpha) \approx 2.0528 \).