1. Какова вероятность выбора одного пирожка с капустой из четырех отобранных пирожков, если на тарелке находится

Конечно! Давайте решим эти задачи по порядку.

1. Задача о вероятности выбора пирожка с капустой:
У нас есть 6 пирожков с мясом и 3 пирожка с капустой, всего 9 пирожков. Из них мы выбираем 4 пирожка. Нас интересует, какова вероятность выбора ровно одного пирожка с капустой из этих 4 пирожков.

Для решения этой задачи мы можем использовать формулу вероятности события \(P(A) = \frac{m}{n}\), где \(m\) - количество благоприятных исходов (в нашем случае, выбор 1 пирожка с капустой), а \(n\) - общее число возможных исходов (всего возможных комбинаций выбора 4 пирожков из 9).

Количество способов выбрать 1 пирожок с капустой из 3 равно \(\binom{3}{1} = 3\), где \(\binom{n}{k}\) обозначает количество сочетаний из \(n\) элементов по \(k\) элементов.

Количество способов выбрать 3 пирожка с мясом из 6 равно \(\binom{6}{3} = 20\).

Общее количество возможных комбинаций выбора 4 пирожков из 9 равно \(\binom{9}{4} = 126\).

Итак, вероятность выбора ровно одного пирожка с капустой равна \(\frac{3 \cdot 20}{126} = \frac{60}{126} = \frac{10}{21}\).
Ответ: Вероятность выбора одного пирожка с капустой из четырех отобранных пирожков равна \(\frac{10}{21}\).

2. Задача о вероятности выбора черного шара из определенной урны:
У нас есть 3 урны: первая содержит белые шары, вторая содержит черные шары, а третья содержит 2 белых и 1 черный шар. Требуется вычислить вероятность выбора черного шара, если известно, что выбранный шар оказался черным.

Мы будем использовать формулу Байеса для решения этой задачи. Формула Байеса выглядит следующим образом:
\[P(A|B) = \frac{P(B|A) \cdot P(A)}{P(B)}\]
где \(P(A|B)\) - вероятность наступления события \(A\) при условии наступления события \(B\), \(P(B|A)\) - вероятность наступления события \(B\) при условии наступления события \(A\), \(P(A)\) - вероятность наступления события \(A\), \(P(B)\) - вероятность наступления события \(B\).

В нашем случае, событие \(A\) - выбрать шар из второй урны, а событие \(B\) - выбрать черный шар.

У нас есть 3 урны, и выбор урны происходит наугад. Таким образом, вероятность выбора каждой урны равна \(P(A) = \frac{1}{3}\).

Так как во второй урне все шары черные, вероятность выбора черного шара из второй урны равна \(P(B|A) = 1\).

Чтобы вычислить вероятность выбора черного шара (\(P(B)\)), мы должны рассмотреть все возможные исходы выбора шара: черный из первой урны, черный из второй урны и черный из третьей урны. Эти исходы встречаются с равными вероятностями, поскольку выбор урны происходит наугад. Таким образом, \(P(B)\) будет равно:
\[P(B) = P(B|A_1) \cdot P(A_1) + P(B|A_2) \cdot P(A_2) + P(B|A_3) \cdot P(A_3)\]
где \(P(B|A_1)\) - вероятность выбора черного шара из первой урны, \(P(A_1)\) - вероятность выбора первой урны и так далее.

Вероятности выбора черного шара из первой и третьей урн можно выразить, используя количество шаров в этих урнах. Если мы разделим количество черных шаров на общее количество шаров в урне, мы получим вероятность выбора черного шара.

В первой урне все шары белые, поэтому \(P(B|A_1) = 0\).

В третьей урне 2 из 3 шаров белые, поэтому \(P(B|A_3) = \frac{1}{3}\).

Теперь мы можем рассчитать \(P(B)\):
\[P(B) = 0 \cdot \frac{1}{3} + 1 \cdot \frac{1}{3} + \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{9} + \frac{1}{3} = \frac{4}{9}\]

Теперь мы можем использовать формулу Байеса для вычисления \(P(A|B)\):
\[P(A|B) = \frac{P(B|A) \cdot P(A)}{P(B)} = \frac{1 \cdot \frac{1}{3}}{\frac{4}{9}} = \frac{9}{12} = \frac{3}{4}\]

Итак, вероятность выбора шара из второй урны при условии, что выбранный шар оказался черным, равна \(\frac{3}{4}\).

Ответ: Вероятность того, что черный шар был выбран из второй урны, составляет \(\frac{3}{4}\).

Если у вас возникли вопросы или вам нужно больше пояснений, пожалуйста, дайте знать! Я буду рад помочь.