Каковы значения m, при которых прямая y=m пересекает график функции y=2|x-4|-x^2+9x-20 в трех точках?

Чтобы найти значения \(m\), при которых прямая \(y=m\) пересекает график функции \(y=2|x-4|-x^2+9x-20\) в трех точках, нам необходимо проследить за количеством пересечений двух графиков.

Для начала, построим график функции \(y=2|x-4|-x^2+9x-20\) и рассмотрим его поведение. Заметим, что данная функция имеет квадратный трехчлен, модуль и линейную функцию. Выше указан график этой функции.\\

\[
\begin{tikzpicture}[scale=1.2]
\begin{axis}[
axis lines = middle,
xlabel = \(x\),
ylabel = {\(y=2|x-4|-x^2+9x-20\)},
xtick = {0,3,4,5},
xticklabels = {\(0\),\(3\),\(4\),\(5\)},
ytick = {0,5,10,15,20},
yticklabels = {\(0\),\(5\),\(10\),\(15\),\(20\)},
]
\addplot [
domain=-2:7,
samples=100,
color=blue,
]
{2*abs(x-4)-x^2+9*x-20};
\end{axis}
\end{tikzpicture}
\]

Теперь рассмотрим уравнение прямой \(y=m\). Заметим, что данное уравнение представляет собой горизонтальную прямую с постоянным значением \(m\) по оси \(y\).

После проведения анализа графика функции и прямой, мы замечаем, что:

1. Если значение \(m\) находится ниже значения наименьшей точки графика функции и выше значения наибольшей точки графика функции, то прямая \(y=m\) пересекает график функции в трех различных точках.

2. Если значение \(m\) находится выше значения наибольшей точки графика функции или ниже значения наименьшей точки графика функции, то прямая \(y=m\) не пересекает график функции в трех точках.

Таким образом, чтобы найти значения \(m\), при которых прямая \(y=m\) пересекает график функции \(y=2|x-4|-x^2+9x-20\) в трех точках, нам нужно найти значения \(m\), которые удовлетворяют условиям, описанным выше.

На графике функции видно, что наименьший y-координат графика достигается при \(x = 4\) и равен \(y = -20\). Наибольший y-координат графика достигается примерно при \(x = 5.5\) и равен примерно \(y = 18\).

Таким образом, значения \(m\), при которых прямая \(y=m\) пересекает график функции \(y=2|x-4|-x^2+9x-20\) в трех точках, будут лежать в интервале \((-20, 18)\). Если получается что \(m=-20\) или \(m=18\), то точки повторяются в одной из конкретных точек. Помимо этого \(m\) может быть любым значением внутри этого интервала.

Надеюсь, это поможет вам понять, как найти значения \(m\) для данной задачи. Если у вас возникнут дополнительные вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать.