1. Ищите сумму членов арифметической последовательности с 15-ого по 30-ый включительно. Учитывая, что а 1 = 9 и а

1. Для нахождения суммы членов арифметической последовательности нам необходимо использовать формулу для суммы arithmos последовательности.
Общий член арифметической последовательности может быть записан как \(a_n = a_1 + (n-1)d\), где \(a_1\) - первый член последовательности, \(n\) - номер члена, \(d\) - разность между соседними членами.

Теперь решим первую задачу. Дано, что \(a_1 = 9\), \(a_{26} = 44\), и нам нужно найти сумму членов от 15 до 30 включительно.

Для начала найдем члены последовательности, которые нам нужны.
\(a_{15} = a_1 + (15-1)d = 9 + 14d\)
\(a_{30} = a_1 + (30-1)d = 9 + 29d\)

Теперь найдем сумму этих членов.
Сумма членов арифметической последовательности \(S_n\) может быть вычислена по формуле:
\[S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)\]

В нашем случае:
\[S = \frac{16}{2}(a_{15} + a_{30}) = 8(9 + 14d + 9 + 29d)\]
\[S = 8(18 + 43d) = 8(61d + 18)\]
\[S = 488d + 144\]

Таким образом, сумма членов арифметической последовательности с 15-го по 30-ый включительно равна \(488d + 144\).

2. Теперь рассмотрим вторую задачу:

Для доказательства равенства суммы \(y_{17}\) и \(y_5\) сумме \(y_{10}\) и \(y_{12}\), используем формулу для общего члена арифметической прогрессии.

Общий член арифметической прогрессии может быть записан как \(y_n = y_1 + (n-1)d\), где \(y_1\) - первый член прогрессии, \(n\) - номер члена, \(d\) - разность между соседними членами.

Последовательность \(y_n\) является арифметической прогрессией, поэтому мы можем записать:

\(y_{17} = y_1 + 16d\)
\(y_{5} = y_1 + 4d\)
\(y_{10} = y_1 + 9d\)
\(y_{12} = y_1 + 11d\)

Теперь сложим \(y_{17}\) и \(y_5\), а также \(y_{10}\) и \(y_{12}\) и проверим, равны ли суммы:

\(y_{17} + y_{5} = (y_1 + 16d) + (y_1 + 4d)\)
\(y_{17} + y_{5} = 2y_1 + 20d\)

\(y_{10} + y_{12} = (y_1 + 9d) + (y_1 + 11d)\)
\(y_{10} + y_{12} = 2y_1 + 20d\)

Как видно, суммы \(y_{17} + y_{5}\) и \(y_{10} + y_{12}\) равны. Таким образом, мы доказали, что сумма \(y_{17}\) и \(y_5\) равна сумме \(y_{10}\) и \(y_{12}\) для данной арифметической прогрессии.

3. Для нахождения общей суммы всех нечетных натуральных чисел от 40 до 160 включительно используем формулу для суммы арифметической прогрессии.

Общая сумма всех нечетных чисел может быть найдена как сумма арифметической прогрессии с первым членом \(a_1 = 41\), последним членом \(a_n = 159\), и разностью \(d = 2\) (так как между каждыми двумя последовательными членами разница равна 2).

Сумма \(S_n\) арифметической прогрессии может быть вычислена по формуле:
\[S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)\]

В нашем случае:
\[S = \frac{160}{2}(41 + 159) = 80(200) = 16000\]

Таким образом, общая сумма всех нечетных натуральных чисел от 40 до 160 включительно равна 16000.

4. Найдем формулу для \(n\)-го члена арифметической прогрессии \(x_n\), если \(x_1 = 32\) и разность равна -2,7.

Общий член арифметической прогрессии может быть записан как \(x_n = x_1 + (n-1)d\), где \(x_1\) - первый член прогрессии, \(n\) - номер члена, \(d\) - разность между соседними членами.

В нашем случае:
\(x_1 = 32\)
\(d = -2,7\)

Подставим значения в формулу и получим:
\(x_n = 32 + (n-1)(-2,7)\)

Чтобы найти первый отрицательный член прогрессии, нам нужно решить уравнение \(x_n < 0\).

\(32 + (n-1)(-2,7) < 0\)

Решая это уравнение, найдем:
\((n-1)(-2,7) < -32\)
\(n-1 > \frac{-32}{-2,7}\)
\(n-1 > \frac{320}{27}\)
\(n > \frac{320}{27} + 1\)
\(n > \frac{320}{27} + \frac{27}{27}\)
\(n > \frac{347}{27}\)

Таким образом, первый отрицательный член этой арифметической прогрессии будет иметь номер больше \(\frac{347}{27}\). Округлим это значение вверх и получим, что первый отрицательный член будет иметь номер 13.