Каковы значения центральных моментов первого, второго, третьего и четвертого порядков для дискретной случайной величины

Для решения данной задачи, нам необходимо вычислить значения центральных моментов различного порядка для дискретной случайной величины X с заданным законом распределения.

Центральный момент первого порядка - это математическое ожидание случайной величины Х. Для его вычисления необходимо умножить каждое значение случайной величины на соответствующую вероятность и сложить полученные произведения:

\[M_x = \sum_i{x_i \cdot P(x_i)}\]

В нашем случае, значения случайной величины X это 3 и 5, а соответствующие вероятности 0.2 и 0.8 соответственно. Подставим эти значения в формулу и произведем вычисления:

\[M_X = 3 \cdot 0.2 + 5 \cdot 0.8 = 0.6 + 4 = 4.6\]

Таким образом, значение центрального момента первого порядка для данной дискретной случайной величины равно 4.6.

Центральный момент второго порядка - это дисперсия случайной величины Х. Для ее вычисления необходимо вычислить математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания:

\[D_X = \sum_i{(x_i - M_X)^2 \cdot P(x_i)}\]

В нашем случае, значения случайной величины X это 3 и 5, а соответствующие вероятности 0.2 и 0.8 соответственно. Математическое ожидание Х мы уже вычислили ранее и оно равно 4.6. Подставим эти значения в формулу и произведем вычисления:

\[D_X = (3 - 4.6)^2 \cdot 0.2 + (5 - 4.6)^2 \cdot 0.8 = (-1.6)^2 \cdot 0.2 + (0.4)^2 \cdot 0.8 = 2.56 \cdot 0.2 + 0.16 \cdot 0.8 = 0.512 + 0.128 = 0.64\]

Таким образом, значение центрального момента второго порядка (дисперсии) для данной дискретной случайной величины равно 0.64.

Центральный момент третьего порядка - это математическое ожидание куба отклонения случайной величины от ее математического ожидания. Его можно вычислить по формуле:

\[M_{X^3} = \sum_i{(x_i - M_X)^3 \cdot P(x_i)}\]

В нашем случае, значения случайной величины X это 3 и 5, а соответствующие вероятности 0.2 и 0.8 соответственно. Математическое ожидание Х мы уже вычислили ранее и оно равно 4.6. Подставим эти значения в формулу и произведем вычисления:

\[M_{X^3} = (3 - 4.6)^3 \cdot 0.2 + (5 - 4.6)^3 \cdot 0.8 = (-1.6)^3 \cdot 0.2 + (0.4)^3 \cdot 0.8 = -4.096 \cdot 0.2 + 0.064 \cdot 0.8 = -0.8192 + 0.0512 = -0.768\]

Таким образом, значение центрального момента третьего порядка для данной дискретной случайной величины равно -0.768.

Центральный момент четвертого порядка - это математическое ожидание четвертой степени отклонения случайной величины от ее математического ожидания. Его можно вычислить по формуле:

\[M_{X^4} = \sum_i{(x_i - M_X)^4 \cdot P(x_i)}\]

В нашем случае, значения случайной величины X это 3 и 5, а соответствующие вероятности 0.2 и 0.8 соответственно. Математическое ожидание Х мы уже вычислили ранее и оно равно 4.6. Подставим эти значения в формулу и произведем вычисления:

\[M_{X^4} = (3 - 4.6)^4 \cdot 0.2 + (5 - 4.6)^4 \cdot 0.8 = (-1.6)^4 \cdot 0.2 + (0.4)^4 \cdot 0.8 = 6.5536 \cdot 0.2 + 0.0256 \cdot 0.8 = 1.31072 + 0.02048 = 1.3312\]

Таким образом, значение центрального момента четвертого порядка для данной дискретной случайной величины равно 1.3312.

Итак, для дискретной случайной величины X с заданным законом распределения и значениями \(X = \{3, 5\}\) и \(Р = \{0.2, 0.8\}\), значения центральных моментов первого, второго, третьего и четвертого порядков равны соответственно:

Математическое ожидание или центральный момент первого порядка: 4.6
Дисперсия или центральный момент второго порядка: 0.64
Центральный момент третьего порядка: -0.768
Центральный момент четвертого порядка: 1.3312

Надеюсь, эта информация помогла вам понять, как вычислить значения центральных моментов для данной дискретной случайной величины. Если у вас возникнут еще вопросы, не стесняйтесь задавать их!