Каковы значения апофемы, площади боковой поверхности и площади полной поверхности правильной треугольной пирамиды, если

Пусть \(r\) - радиус окружности, описанной около основания, и \(h\) - высота правильной треугольной пирамиды.

Для начала, найдем апофему пирамиды. Апофема - это расстояние от центра окружности, описанной вокруг основания пирамиды, до середины одной из боковых граней.

Для нахождения апофемы воспользуемся теоремой Пифагора в прямоугольном треугольнике, образованном радиусом окружности, апофемой и отрезком, соединяющим центр основания пирамиды с серединой одной из боковых граней.

Давайте обозначим апофему как \(a\), а отрезок, соединяющий центр основания с серединой боковой грани, как \(s\). Тогда применяя теорему Пифагора, получим:

\[a^2 = r^2 - \left(\frac{s}{2}\right)^2\]

Так как у нас правильная треугольная пирамида, то длина отрезка \(s\) равна стороне основания. Пусть сторона основания будет обозначена как \(l\). В треугольнике правильной пирамиды, можно использовать теорему Пифагора для нахождения длины \(l\):

\[l^2 = r^2 - \left(\frac{l}{2}\right)^2\]

Решим это уравнение:

\[l^2 = r^2 - \frac{l^2}{4}\]
\[l^2 + \frac{l^2}{4} = r^2\]
\[\frac{5}{4}l^2 = r^2\]

Таким образом, сторона основания равна:

\[l = \sqrt{\frac{4}{5}r^2}\]

Обратимся к формуле для апофемы:

\[a^2 = r^2 - \left(\frac{r}{\sqrt{5}}\right)^2\]
\[a^2 = r^2 - \frac{r^2}{5}\]
\[a^2 = \frac{4}{5}r^2\]
\[a = \sqrt{\frac{4}{5}}r\]

Таким образом, значение апофемы равно \(\sqrt{\frac{4}{5}}\) умножить на радиус \(r\).

Теперь рассмотрим площадь боковой поверхности пирамиды. Боковая поверхность представляет собой поверхность, состоящую из треугольных граней. В случае правильной треугольной пирамиды, каждая грань - это равносторонний треугольник.

Площадь равностороннего треугольника можно найти, зная его сторону. Пусть сторона треугольника будет обозначена как \(s\). Тогда площадь треугольника равна:

\[S_{\text{тр}} = \frac{\sqrt{3}}{4}s^2\]

Площадь боковой поверхности пирамиды состоит из \(n\) таких треугольников, где \(n\) - это количество боковых граней. В случае правильной треугольной пирамиды, у нас 3 боковых грани. Таким образом площадь боковой поверхности равна:

\[S_{\text{бок}} = 3S_{\text{тр}} = 3\left(\frac{\sqrt{3}}{4}s^2\right)\]

Зная, что сторона треугольника равна стороне основания (\(l\)), мы можем записать:

\[S_{\text{бок}} = 3\left(\frac{\sqrt{3}}{4}l^2\right) = 3\left(\frac{\sqrt{3}}{4}\left(\sqrt{\frac{4}{5}}r^2\right)\right) = 3\left(\frac{\sqrt{3}}{4}\left(\sqrt{\frac{4}{5}}\right)^2r^2\right)\]

Таким образом, площадь боковой поверхности может быть найдена как \(3\left(\frac{\sqrt{3}}{4}\left(\sqrt{\frac{4}{5}}\right)^2r^2\right)\).

Наконец, рассмотрим площадь полной поверхности пирамиды. Полная поверхность состоит из боковой поверхности и основания.

Площадь основания - это площадь правильного треугольника с стороной \(l\). Пусть \(S_{\text{осн}}\) обозначает площадь основания. Тогда \(S_{\text{осн}}\) равна:

\[S_{\text{осн}} = \frac{\sqrt{3}}{4}l^2 = \frac{\sqrt{3}}{4}\left(\sqrt{\frac{4}{5}}r^2\right)\]

Теперь, чтобы найти площадь полной поверхности, мы складываем площадь основания и площадь боковой поверхности:

\[S_{\text{полн}} = S_{\text{осн}} + S_{\text{бок}} = \frac{\sqrt{3}}{4}\left(\sqrt{\frac{4}{5}}r^2\right) + 3\left(\frac{\sqrt{3}}{4}\left(\sqrt{\frac{4}{5}}\right)^2r^2\right)\]

Таким образом, мы нашли значения апофемы (\(a\)), площади боковой поверхности (\(S_{\text{бок}}\)) и площади полной поверхности (\(S_{\text{полн}}\)) для данной правильной треугольной пирамиды с заданными значениями высоты (\(h\)) и радиусом (\(r\)). Заметьте, что я не могу подставить в задачу числа, так как значения \(r\) в условии выражены не до конца.