Каковы скорость моторной лодки и скорость течения реки, если пристани В и С находятся ниже пристани А по течению реки

Для решения этой задачи воспользуемся следующими обозначениями:
- Пусть \(v_b\) - скорость моторной лодки,
- \(v_r\) - скорость течения реки.

В первый раз, когда лодка отплыла от пристани А и достигла пристани С, время пути можно выразить как \(t_1 = \frac{{\text{{расстояние}}}}{{\text{{скорость}}}}\). Расстояние между пристанями А и С - 45 км. Таким образом, время пути от пристани А до пристани С получается равным \(t_1 = \frac{{45}}{{v_b + v_r}}\).

Затем лодка развернулась и прибыла в пристань В за 4 часа 40 минут. Общее время пути в первом случае равно \(t_1 + 4\frac{{40}}{{60}} = t_1 + \frac{{7}}{{3}}\) часов.

Во второй раз, когда лодка отплыла от пристани С и достигла пристани А, время пути можно выразить аналогичным образом: \(t_2 = \frac{{30}}{{v_b - v_r}}\). Затем лодка снова развернулась и прибыла в пристань В за 7 часов. Общее время пути второго случая равно \(t_2 + 7\) часов.

Нам известно, что время пути в первом случае (\(t_1 + \frac{{7}}{{3}}\) часов) равно времени пути во втором случае (\(t_2 + 7\) часов). Поэтому мы можем записать уравнение:

\[t_1 + \frac{{7}}{{3}} = t_2 + 7\]

Подставив значения \(t_1\) и \(t_2\), получим:

\[\frac{{45}}{{v_b + v_r}} + \frac{{7}}{{3}} = \frac{{30}}{{v_b - v_r}} + 7\]

Давайте решим это уравнение:

\[\frac{{45}}{{v_b + v_r}} + \frac{{7}}{{3}} = \frac{{30}}{{v_b - v_r}} + 7\]

Умножим оба выражения на 3, чтобы избавиться от знаменателя в левой части:

\[3 \cdot \frac{{45}}{{v_b + v_r}} + 7 = 3 \cdot \frac{{30}}{{v_b - v_r}} + 7\]

\[135 + 7 = 90 + 3 \cdot 7 \cdot \frac{{v_b + v_r}}{{v_b - v_r}}\]

\[142 = 111 \cdot \frac{{v_b + v_r}}{{v_b - v_r}}\]

Теперь выразим \(\frac{{v_b + v_r}}{{v_b - v_r}}\):

\[\frac{{v_b + v_r}}{{v_b - v_r}} = \frac{{142}}{{111}}\]

Перемножим обе части уравнения на \((v_b - v_r)\), чтобы избавиться от знаменателя:

\[v_b + v_r = \frac{{142 \cdot (v_b - v_r)}}{{111}}\]

\[v_b + v_r = \frac{{142v_b - 142v_r}}{{111}}\]

Перенесем все выражения, содержащие \(v_b\) влево, а все выражения, содержащие \(v_r\) вправо:

\[v_b - \frac{{142v_b}}{{111}} = \frac{{142v_r}}{{111}} - v_r\]

\[v_b \left( 1 - \frac{{142}}{{111}} \right) = v_r \left( \frac{{142}}{{111}} - 1 \right)\]

\[v_b \left( \frac{{111 - 142}}{{111}} \right) = v_r \left( \frac{{142 - 111}}{{111}} \right)\]

Теперь найдем значения в скобках:

\[\frac{{111 - 142}}{{111}} = -\frac{{31}}{{111}}\]
\[\frac{{142 - 111}}{{111}} = \frac{{31}}{{111}}\]

Теперь разделим обе части уравнения на соответствующие значения:

\[\frac{{v_b}}{{v_r}} = \frac{{-\frac{{31}}{{111}}}}{{\frac{{31}}{{111}}}}\]

\[\frac{{v_b}}{{v_r}} = -1\]

Получили, что \(v_b = -v_r\). Это означает, что скорости моторной лодки и скорости течения реки равны по модулю, но имеют противоположные знаки.

Ответ: Скорость моторной лодки и скорость течения реки равны по модулю, но противоположны по знаку.

Также учтите, что это только математическое решение задачи. При практическом решении такой задачи следует обратить внимание на единицы измерения скорости и сделать соответствующие преобразования для получения окончательного ответа в нужных единицах.