Как найти область определения функции y = √(-7/x^2 + 3) - (x - 1)/(x

Для начала, давайте разберемся в том, что такое "область определения" функции. Область определения - это множество всех допустимых значений аргумента функции, то есть значения, при которых функция определена.

Данная функция имеет две составляющие: \(\sqrt{-\frac{7}{x^2} + 3}\) и \(\frac{x-1}{x}\).

Для того чтобы определить область определения функции \(y = \sqrt{-\frac{7}{x^2} + 3} - \frac{x-1}{x}\), мы должны обратить внимание на два возможных ограничения.

1. Ограничения подкоренного выражения \(-\frac{7}{x^2} + 3\).
Поскольку мы не можем извлекать корень из отрицательного числа (вещественного числа), нам необходимо найти значения аргумента \(x\), при которых подкоренное выражение будет неотрицательным.
Рассмотрим неравенство: \(-\frac{7}{x^2} + 3 \geq 0\).

Давайте найдем критические точки этого неравенства, то есть точки, при которых выражение равно нулю.

\(-\frac{7}{x^2} + 3 = 0\)

Умножим обе стороны на \(x^2\) для упрощения:

\(-7 + 3x^2 = 0\)

Выразим \(x^2\):

\(3x^2 = 7\)

\(x^2 = \frac{7}{3}\)

Извлекая корень из обеих сторон, получаем:

\(x = \pm \sqrt{\frac{7}{3}}\)

Таким образом, подкоренное выражение будет неотрицательным, когда \(x\) находится внутри интервала \(-\sqrt{\frac{7}{3}} \leq x \leq \sqrt{\frac{7}{3}}\).

2. Ограничения дробного выражения \(\frac{x-1}{x}\).
Рассмотрим неравенство: \(x \neq 0\) (так как в знаменателе не может быть нуля).

Теперь мы можем объединить эти два условия, чтобы найти область определения функции.

\(x \neq 0\) и \(-\sqrt{\frac{7}{3}} \leq x \leq \sqrt{\frac{7}{3}}\).

Итак, общая область определения функции \(y = \sqrt{-\frac{7}{x^2} + 3} - \frac{x-1}{x}\) будет заключена между отрицательным квадратным корнем из \(\frac{7}{3}\) и положительным квадратным корнем из \(\frac{7}{3}\), за исключением нуля. В математической записи это выражается следующим образом:

\(x \in (-\sqrt{\frac{7}{3}}, 0) \cup (0, \sqrt{\frac{7}{3}})\).