Каковы скорость и ускорение груза А в моменты времени t1 и t2, а также скорость и ускорение точки B на ободе барабана

Для решения данной задачи, нам необходимо вычислить скорость и ускорение груза А в моменты времени \(t_1\) и \(t_2\), а также скорость и ускорение точки B на ободе барабана лебедки.

Дано уравнение движения груза А: \(y=at^2+bt+c\), где \(y\) представляет собой положение груза А в момент времени \(t\), \(a\), \(b\) и \(c\) - заданные параметры.

1. Найдем скорость груза А. Скорость определяется как производная положения по времени, то есть \(v=\frac{dy}{dt}\).
Производная уравнения груза А равна: \(v=2at+b\).
Подставим заданные значения параметров для \(a\) и \(b\): \(v=2(2)t+0=4t\).
Таким образом, скорость груза А выражается уравнением \(v=4t\).

2. Теперь определим ускорение груза А. Ускорение вычисляется как производная скорости по времени, то есть \(a=\frac{dv}{dt}\).
Производная скорости груза А: \(a=\frac{d}{dt}(4t)=4\).
Таким образом, ускорение груза А является постоянным и равно 4 м/с².

3. Теперь перейдем к скорости и ускорению точки B на ободе барабана лебедки. Поскольку точка B находится на ободе, ее положение связано с положением груза А следующим образом: \(y=r\theta\), где \(r\) - радиус обода барабана лебедки, а \(\theta\) - угол поворота обода.

Чтобы определить скорость и ускорение точки B, нам нужно выразить \(\theta\) через \(t\). Мы знаем, что точка B находится на ободе, и обод проходит полный оборот, когда груз А проходит расстояние, равное длине окружности барабана.
Длина окружности барабана: \(2\pi r\).
Чтобы соотнести положение груза А с точкой B, мы можем записать: \(2\pi r=t_2-t_1\), где \(t_1\) и \(t_2\) - заданные моменты времени, в которые требуется найти скорость и ускорение точки B.

Разделим это равенство на \(t_2-t_1\), чтобы выразить \(\frac{\theta}{t}\) в терминах \(t\): \(\frac{\theta}{t}=\frac{2\pi r}{t_2-t_1}\).

4. Вычислим скорость и ускорение точки B, используя полученное выражение для \(\frac{\theta}{t}\):

- Скорость точки B: \(v_B=r\frac{d\theta}{dt}\).
По условию, радиус обода \(r=0.2\) метра. Используя цепное правило дифференцирования, получаем:
\(v_B=r\frac{d\theta}{dt}=r\frac{d\theta}{dt}\frac{dt}{dt}=r\frac{d\theta}{dt}\frac{1}{\frac{d(t_2-t_1)}{dt}}=r\frac{\frac{d\theta}{dt}}{\frac{dt_2}{dt}-\frac{dt_1}{dt}}\).

Найдем \(\frac{d\theta}{dt}\) из выражения \(\frac{\theta}{t}\), используя правило дифференцирования функции, зависящей от \(t\):
\(\frac{d\theta}{dt}=\frac{d(\frac{\theta}{t})}{dt}=\frac{1}{t}\frac{d\theta}{dt}-\frac{\theta}{t^2}\).
Так как груз А движется по кривой, \(\frac{d\theta}{dt}\) не является просто угловой скоростью, поэтому мы продолжим исключать \(\frac{d\theta}{dt}\).

Теперь найдем \(\frac{dt_2}{dt}\) и \(\frac{dt_1}{dt}\):
\(\frac{dt_2}{dt}=0\) и \(\frac{dt_1}{dt}=0\) в силу того, что \(t_1\) и \(t_2\) являются заданными моментами времени.

Подставив все значения, получим: \(v_B=r\frac{\frac{d\theta}{dt}}{\frac{dt_2}{dt}-\frac{dt_1}{dt}}=r\frac{\frac{1}{t}\frac{d\theta}{dt}-\frac{\theta}{t^2}}{0-0}=r\frac{\frac{1}{t}\frac{d\theta}{dt}}{0}=0\).

Таким образом, скорость точки B на ободе лебедки равна 0 м/с.

- Ускорение точки B: \(a_B=r\frac{d^2\theta}{dt^2}\).

Возьмем производную от выражения \(\frac{d\theta}{dt}\), чтобы получить \(a_B\):
\(\frac{d^2\theta}{dt^2}=\frac{d}{dt}(\frac{1}{t}\frac{d\theta}{dt}-\frac{\theta}{t^2})=\frac{1}{t}\frac{d^2\theta}{dt^2}-\frac{1}{t^2}\frac{d\theta}{dt}-\frac{1}{t^2}\frac{d\theta}{dt}+\frac{2\theta}{t^3}\).

Заметим, что \(\frac{d\theta}{dt}=\frac{\theta}{t}\) (из предыдущего рассуждения).
Подставим это значение в вышеприведенное уравнение: \(\frac{d^2\theta}{dt^2}=\frac{1}{t}\frac{d^2\theta}{dt^2}-\frac{1}{t^2}\frac{\theta}{t}-\frac{1}{t^2}\frac{\theta}{t}+\frac{2\theta}{t^3}\).

Упростим это выражение, оставив только \(\frac{d^2\theta}{dt^2}\): \(\frac{d^2\theta}{dt^2}=\frac{2\theta}{t^3}\).
Это означает, что \(\frac{d^2\theta}{dt^2}\) является постоянной, равной \(\frac{2\theta}{t^3}\).

Теперь найдем \(a_B\) при подстановке полученного значения: \(a_B=r\frac{d^2\theta}{dt^2}=0.2\cdot\frac{2\theta}{t^3}=\frac{0.4\theta}{t^3}\).

5. В итоге, скорость и ускорение груза А в моменты времени \(t_1\) и \(t_2\) равны:
- \(v_A=4t_1=4\cdot1=4\) м/с.
- \(a_A=4\) м/с².

Скорость и ускорение точки B на ободе барабана лебедки равны:
- \(v_B=0\) м/с.
- \(a_B=\frac{0.4\theta}{t^3}\).

Это подробное решение задачи, которое предоставляет информацию о скорости и ускорении груза А в моменты времени \(t_1\) и \(t_2\), а также скорости и ускорении точки B на ободе барабана лебедки.