Каковы скорость и ускорение груза А в моменты времени t1 и t2, а также скорость и ускорение точки B на ободе барабана

Для решения данной задачи, нам необходимо вычислить скорость и ускорение груза А в моменты времени $t_1$ и $t_2$, а также скорость и ускорение точки B на ободе барабана лебедки.

Дано уравнение движения груза А: $y=a{t}^2+bt+c$, где $y$ представляет собой положение груза А в момент времени $t$, $a$, $b$ и $c$ - заданные параметры.

1. Найдем скорость груза А. Скорость определяется как производная положения по времени, то есть $v=\frac{dy}{dt}$.
Производная уравнения груза А равна: $v=2at+b$.
Подставим заданные значения параметров для $a$ и $b$: $v=2(2)t+0=4t$.
Таким образом, скорость груза А выражается уравнением $v=4t$.

2. Теперь определим ускорение груза А. Ускорение вычисляется как производная скорости по времени, то есть $a=\frac{dv}{dt}$.
Производная скорости груза А: $a=\frac{d}{dt}(4t)=4$.
Таким образом, ускорение груза А является постоянным и равно 4 м/с².

3. Теперь перейдем к скорости и ускорению точки B на ободе барабана лебедки. Поскольку точка B находится на ободе, ее положение связано с положением груза А следующим образом: $y=r\theta$, где $r$ - радиус обода барабана лебедки, а $\theta$ - угол поворота обода.

Чтобы определить скорость и ускорение точки B, нам нужно выразить $\theta$ через $t$. Мы знаем, что точка B находится на ободе, и обод проходит полный оборот, когда груз А проходит расстояние, равное длине окружности барабана.
Длина окружности барабана: $2\pi r$.
Чтобы соотнести положение груза А с точкой B, мы можем записать: $2\pi r=t_2-t_1$, где $t_1$ и $t_2$ - заданные моменты времени, в которые требуется найти скорость и ускорение точки B.

Разделим это равенство на $t_2-t_1$, чтобы выразить $\frac{\theta }{t}$ в терминах $t$: $\frac{\theta }{t}=\frac{2\pi r}{t_2-t_1}$.

4. Вычислим скорость и ускорение точки B, используя полученное выражение для $\frac{\theta }{t}$:

- Скорость точки B: $v_B=r\frac{d\theta }{dt}$.
По условию, радиус обода $r=0.2$ метра. Используя цепное правило дифференцирования, получаем:
$v_B=r\frac{d\theta }{dt}=r\frac{d\theta }{dt}\frac{dt}{dt}=r\frac{d\theta }{dt}\frac{1}{\frac{d(t_2-t_1)}{dt}}=r\frac{\frac{d\theta }{dt}}{\frac{d{t}_2}{dt}-\frac{d{t}_1}{dt}}$.

Найдем $\frac{d\theta }{dt}$ из выражения $\frac{\theta }{t}$, используя правило дифференцирования функции, зависящей от $t$:
$\frac{d\theta }{dt}=\frac{d(\frac{\theta }{t})}{dt}=\frac{1}{t}\frac{d\theta }{dt}-\frac{\theta }{t^2}$.
Так как груз А движется по кривой, $\frac{d\theta }{dt}$ не является просто угловой скоростью, поэтому мы продолжим исключать $\frac{d\theta }{dt}$.

Теперь найдем $\frac{d{t}_2}{dt}$ и $\frac{d{t}_1}{dt}$:
$\frac{d{t}_2}{dt}=0$ и $\frac{d{t}_1}{dt}=0$ в силу того, что $t_1$ и $t_2$ являются заданными моментами времени.

Подставив все значения, получим: $v_B=r\frac{\frac{d\theta }{dt}}{\frac{d{t}_2}{dt}-\frac{d{t}_1}{dt}}=r\frac{\frac{1}{t}\frac{d\theta }{dt}-\frac{\theta }{t^2}}{0-0}=r\frac{\frac{1}{t}\frac{d\theta }{dt}}{0}=0$.

Таким образом, скорость точки B на ободе лебедки равна 0 м/с.

- Ускорение точки B: $a_B=r\frac{d^2\theta }{d{t}^2}$.

Возьмем производную от выражения $\frac{d\theta }{dt}$, чтобы получить $a_B$:
$\frac{d^2\theta }{d{t}^2}=\frac{d}{dt}(\frac{1}{t}\frac{d\theta }{dt}-\frac{\theta }{t^2})=\frac{1}{t}\frac{d^2\theta }{d{t}^2}-\frac{1}{t^2}\frac{d\theta }{dt}-\frac{1}{t^2}\frac{d\theta }{dt}+\frac{2\theta }{t^3}$.

Заметим, что $\frac{d\theta }{dt}=\frac{\theta }{t}$ (из предыдущего рассуждения).
Подставим это значение в вышеприведенное уравнение: $\frac{d^2\theta }{d{t}^2}=\frac{1}{t}\frac{d^2\theta }{d{t}^2}-\frac{1}{t^2}\frac{\theta }{t}-\frac{1}{t^2}\frac{\theta }{t}+\frac{2\theta }{t^3}$.

Упростим это выражение, оставив только $\frac{d^2\theta }{d{t}^2}$: $\frac{d^2\theta }{d{t}^2}=\frac{2\theta }{t^3}$.
Это означает, что $\frac{d^2\theta }{d{t}^2}$ является постоянной, равной $\frac{2\theta }{t^3}$.

Теперь найдем $a_B$ при подстановке полученного значения: $a_B=r\frac{d^2\theta }{d{t}^2}=0.2\cdot \frac{2\theta }{t^3}=\frac{0.4\theta }{t^3}$.

5. В итоге, скорость и ускорение груза А в моменты времени $t_1$ и $t_2$ равны:
- $v_A=4t_1=4\cdot 1=4$ м/с.
- $a_A=4$ м/с².

Скорость и ускорение точки B на ободе барабана лебедки равны:
- $v_B=0$ м/с.
- $a_B=\frac{0.4\theta }{t^3}$.

Это подробное решение задачи, которое предоставляет информацию о скорости и ускорении груза А в моменты времени $t_1$ и $t_2$, а также скорости и ускорении точки B на ободе барабана лебедки.