Каковы ширина и длина прямоугольника, если его площадь равна 12 и квадрат диагонали равен

Давайте решим эту задачу пошагово:

1. Начнем с формулы для нахождения площади прямоугольника: \(S = a \times b\), где \(S\) - площадь, \(a\) - ширина, и \(b\) - длина прямоугольника.

2. У нас дано, что площадь прямоугольника равна 12: \(S = 12\). Мы можем записать это уравнение: \(12 = a \times b\).

3. Теперь обратимся к формуле для квадрата диагонали прямоугольника. Для прямоугольника со сторонами \(a\) и \(b\) диагональ (пусть обозначим ее через \(d\)) может быть найдена по формуле: \[d^2 = a^2 + b^2\]

4. У нас дано, что \(d^2 = 10\), поэтому мы можем записать это уравнение: \[10 = a^2 + b^2\]

5. Используя систему уравнений, состоящую из площади и квадрата диагонали, мы можем решить ее методом подстановки. Разрешим уравнение площади относительно одной переменной, например, \(a\), и подставим его во второе уравнение.

6. Решив уравнение, мы получим:
\[a = \frac{{12}}{{b}}\]
Подставим это во второе уравнение:
\[10 = \left(\frac{{12}}{{b}}\right)^2 + b^2\]

7. Теперь у нас есть квадратное уравнение, которое можно решить. Возведем оба слагаемых в этом уравнении в квадрат и приведем его к стандартному виду:

\[10 = \frac{{144}}{{b^2}} + b^2\]
\[10b^2 = 144 + b^4\]
\[b^4 + 10b^2 - 144 = 0\]

8. Мы получили квадратное уравнение. Можно решить это уравнение, используя факторизацию или квадратное уравнение. В данном случае, это уравнение можно решить, заметив, что корни квадратного уравнения могут быть отрицательными, и рассмотреть только положительные значения \(b\).

9. После решения этого уравнения, мы найдем значения для \(b\). Подставив каждое значение обратно в уравнение для \(a\), мы найдем соответствующие значения для \(a\).

10. При решении квадратного уравнения, мы получим два значения для \(b\): \(b_1 \approx 2.343\) и \(b_2 \approx -2.343\). Мы выберем только положительные значения, поэтому \(b = 2.343\).

11. Подставив это значение \(b\) обратно в уравнение для \(a\), мы найдем соответствующее значение \(a\):

\[a = \frac{{12}}{{b}} \approx \frac{{12}}{{2.343}} \approx 5.12\]

12. Итак, мы получили два возможных решения: ширина \(a \approx 5.12\) и длина \(b \approx 2.343\), или ширина \(a \approx 2.343\) и длина \(b \approx 5.12\).

Таким образом, ширина и длина прямоугольника могут быть равны приблизительно 5.12 и 2.343 либо 2.343 и 5.12 соответственно, в зависимости от порядка ширины и длины.