Какова площадь полной поверхности треугольной пирамиды, в которой апофема равна 4√3см и двугранный угол при ребре

Чтобы найти площадь полной поверхности треугольной пирамиды, мы должны суммировать площади всех её граней.

Дано, что апофема (расстояние от вершины пирамиды до центра основания) равна \(4\sqrt{3}\) см и двугранный угол при одном из ребер основания равен 60°.

Первым шагом мы можем найти длину ребра основания. Зная двугранный угол при одном из ребер основания, мы можем использовать геометрическую формулу:

\[a = \frac{{2a_{\text{па}}}}{{\sqrt{3}}} = \frac{{2 \cdot 4\sqrt{3}}}{{\sqrt{3}}} = 2 \cdot 4 = 8\]

Теперь, зная длину ребра основания, мы можем найти площадь основания пирамиды. Поскольку это треугольная пирамида, основание — это равносторонний треугольник со стороной 8 см.

Используя формулу для площади равностороннего треугольника, нам нужно найти площадь треугольника с длиной стороны 8 см:

\[S_{\text{осн}} = \frac{{a^2 \sqrt{3}}}{4} = \frac{{8^2 \sqrt{3}}}{4} = \frac{{64 \sqrt{3}}}{4} = 16 \sqrt{3}\]

Далее, нам необходимо найти площадь всех боковых граней пирамиды. В этом случае у нас три боковые грани — это треугольники.

Мы можем использовать площадь треугольника с помощью формулы:

\[S_{\text{треуг}} = \frac{{\text{основание} \cdot \text{апофема}}}{2}\]

Так как у нас треугольные грани с основанием 8 см и апофемой \(4\sqrt{3}\) см, мы можем найти площадь каждой треугольной грани:

\[S_{\text{треуг}} = \frac{{8 \cdot 4\sqrt{3}}}{2} = \frac{{32\sqrt{3}}}{2} = 16\sqrt{3}\]

Теперь мы можем найти площадь полной поверхности пирамиды, сложив площадь основания и площадь всех боковых граней:

\[S_{\text{полная}} = S_{\text{осн}} + 3 \cdot S_{\text{треуг}} = 16\sqrt{3} + 3 \cdot 16\sqrt{3} = 16\sqrt{3} + 48\sqrt{3} = 64\sqrt{3}\]

Итак, площадь полной поверхности треугольной пирамиды равна \(64\sqrt{3}\) квадратных сантиметров.