Если A(e;p),B(m;n),C(m+e2;n+p2) A(e;p),B(m;n),Cm+e2;n+p2 , то: а) С является серединой отрезка АВ; б) А является

AB; г) треугольник ABC является равнобедренным.

Для решения данной задачи, давайте посмотрим, какие значения могут принимать точки A, B и C.

Исходя из заданной информации, точка A имеет координаты (e, p), точка B имеет координаты (m, n), а точка C имеет координаты (m + e^2, n + p^2).

Теперь, чтобы определить, является ли точка C серединой отрезка AB, нужно убедиться, что координаты точки C являются средними значениями координат точек A и B.

Среднее значение x-координат точек A и B равно:
\(\frac{{e + m}}{2}\)

Среднее значение y-координат точек A и B равно:
\(\frac{{p + n}}{2}\)

Если эти значения совпадают с координатами точки C, то это будет означать, что точка C является серединой отрезка AB.

Сравним эти значения с координатами точки C:

x-координата точки C: \(m + e^2\)

y-координата точки C: \(n + p^2\)

Теперь проведем необходимые вычисления:

а) Для проверки, является ли точка C серединой отрезка AB, сравним среднее значение x-координат точек A и B с x-координатой точки C:

\(\frac{{e + m}}{2} = \frac{{2e + 2e^2}}{2} = e + e^2\)

Мы видим, что x-координата точки C равна \(m + e^2\), что соответствует нашему значению, поэтому точка C является серединой отрезка AB.

б) Аналогично, чтобы определить, является ли точка A серединой отрезка BC, сравним среднее значение x-координат точек B и C с x-координатой точки A:

\(\frac{{m + (m + e^2)}}{2} = \frac{{2m + e^2}}{2} = m + \frac{{e^2}}{2}\)

Мы видим, что x-координата точки A равна \(e\), а не \(m + \frac{{e^2}}{2}\). Поэтому точка A не является серединой отрезка ВС.

в) Чтобы определить, является ли треугольник ABC равнобедренным, нужно проверить, что длины двух его сторон равны.

Длина стороны AB вычисляется с помощью формулы расстояния между двумя точками:

AB = \(\sqrt{{(e - m)^2 + (p - n)^2}}\)

Длина стороны BC вычисляется аналогично:

BC = \(\sqrt{{((m + e^2) - m)^2 + ((n + p^2) - n)^2}}\)

Проведем необходимые вычисления:

AB = \(\sqrt{{(e - m)^2 + (p - n)^2}} = \sqrt{{(m^2 - 2em + e^2) + (n^2 - 2pn + p^2)}} = \sqrt{{m^2 - 2em + e^2 + n^2 - 2pn + p^2}}\)

BC = \(\sqrt{{((m + e^2) - m)^2 + ((n + p^2) - n)^2}} = \sqrt{{(e^4) + (p^4)}}\)

Таким образом, длины сторон AB и BC не равны друг другу, поэтому треугольник ABC не является равнобедренным.

Ответ:

а) Да, точка C является серединой отрезка AB.
б) Нет, точка A не является серединой отрезка ВС.
в) Нет, треугольник ABC не является равнобедренным.