Каковы шаги для нахождения экстремумов функции y=x^3+3x^2+9x-6?

Хорошо, давайте найдем экстремумы функции \(y=x^3+3x^2+9x-6\).

Шаг 1: Найдем производную функции. Для этого возьмем каждое слагаемое и возьмем производную по \(x\).

\[y"=\frac{{d}}{{dx}}(x^3) + \frac{{d}}{{dx}}(3x^2) + \frac{{d}}{{dx}}(9x) + \frac{{d}}{{dx}}(-6)\]

2\[y"=3x^2+6x+9\]

Шаг 2: Найдем точки, где производная равна нулю. Эти точки могут быть экстремумами функции.

\[3x^2+6x+9=0\]

Шаг 3: Решим это квадратное уравнение. Для этого используем квадратное уравнение \(ax^2+bx+c=0\) и формулу дискриминанта:

\[D=b^2-4ac\]

\[D=(6)^2-4(3)(9)=36-108=-72\]

Поскольку дискриминант \(D\) меньше нуля, уравнение не имеет корней, и, следовательно, у функции нет экстремумов.

Шаг 4: Знак производной. Учитывая, что экстремумы не существуют, мы можем изучить знак производной, чтобы определить поведение графика.

Приравняем \(y"\) к нулю и найдем его знаки:

\[3x^2+6x+9>0\]

Так как коэффициент \(a=3>0\), это квадратное уравнение имеет всегда положительный знак, и функция возрастает на всей числовой прямой. То есть, график функции будет идти вверх.

Шаг 5: Для полноты картины, найдем значение функции в некоторой точке. Давайте возьмем, например, \(x=0\).

\[y=(0)^3+3(0)^2+9(0)-6=-6\]

Значение функции при \(x=0\) равно -6.

Итак, вкратце:

1. Найдите производную функции: \(y"=3x^2+6x+9\).
2. Решите квадратное уравнение \(3x^2+6x+9=0\) для определения точек экстремума. В данном случае они отсутствуют.
3. Исследуйте знак производной \(y"\): \(3x^2+6x+9>0\). Она положительная для всех значений \(x\), так что функция возрастает на всей числовой прямой.
4. Вычислите значение функции в некоторой точке для полноты картины. Например, при \(x=0\) значение функции равно -6.