Каким образом можно провести касательную к графику функции y=x^3, чтобы она имела параллельную прямую y=25x−3? Каково

Чтобы провести касательную к графику функции \(y=x^3\), которая будет параллельна прямой \(y=25x-3\), мы должны найти точку пересечения этих двух объектов, а затем использовать производную, чтобы найти угловой коэффициент касательной.

Первым шагом найдем точку пересечения функции \(y=x^3\) и прямой \(y=25x-3\). Поскольку эти две функции равны в точке пересечения, мы можем приравнять их:

\[x^3 = 25x - 3\]

Для решения этого уравнения нам нужно собрать все члены с \(x\) на одной стороне:

\[x^3 - 25x + 3 = 0\]

Это уравнение кубического полинома, которое требует более сложных методов для решения. Я предлагаю воспользоваться численным методом для приближенного нахождения корней.

Используя любой доступный инструмент или калькулятор с функцией численного решения (например, метод Ньютона или метод бисекции), мы находим, что одним из корней этого уравнения является \(x \approx 1,019\).

Теперь, имея координаты точки пересечения \((1.019, 1.019^3)\), можно найти угловой коэффициент касательной к функции \(y=x^3\) в этой точке, используя производную.

Производная функции \(y=x^3\) равна:

\[\frac{{dy}}{{dx}} = 3x^2\]

Подставим \(x = 1.019\) в это уравнение:

\[\frac{{dy}}{{dx}} = 3(1.019)^2 \approx 3.080\]

Таким образом, угловой коэффициент касательной к функции \(y=x^3\) в точке пересечения составляет приблизительно \(3.080\).

Теперь мы можем записать уравнение касательной, используя найденные значения. Уравнение касательной имеет вид:

\[y - y_1 = m(x - x_1)\]

Где \((x_1, y_1)\) - координаты точки пересечения, а \(m\) - угловой коэффициент касательной.

Подставим значения в уравнение:

\[y - 1.019^3 = 3.080(x - 1.019)\]

Сократим и упростим:

\[y - 1.060 \approx 3.080x - 3.121\]

Теперь получили уравнение касательной:

\[y \approx 3.080x - 3.121 + 1.060\]

Итак, уравнение касательной к графику функции \(y=x^3\) при условии, что она параллельна прямой \(y=25x-3\), примерно равно:

\[y \approx 3.080x - 2.061\]