Каковы первые три слагаемых в раскрытии следующего бинома при возрастании степени х, и какой коэффициент у х в каждом

Раскроем каждый из этих биномов с помощью биномиальной теоремы.

1) (3x + 1)^5
Для раскрытия бинома (3x + 1)^5 воспользуемся формулой биномиального разложения, которая утверждает, что:
\((a+b)^n = C(n, 0) \cdot a^n \cdot b^0 + C(n, 1) \cdot a^{n-1} \cdot b^1 + C(n, 2) \cdot a^{n-2} \cdot b^2 + \ldots + C(n, n) \cdot a^0 \cdot b^n\),
где \(C(n, k)\) - биномиальный коэффициент, равный числу сочетаний из n по k.

Применяя эту формулу к нашему случаю, получаем:
\((3x + 1)^5 = C(5, 0) \cdot (3x)^5 \cdot 1^0 + C(5, 1) \cdot (3x)^4 \cdot 1^1 + C(5, 2) \cdot (3x)^3 \cdot 1^2 + C(5, 3) \cdot (3x)^2 \cdot 1^3 + C(5, 4) \cdot (3x)^1 \cdot 1^4 + C(5, 5) \cdot (3x)^0 \cdot 1^5\)

Теперь вычислим каждое слагаемое:
- Первое слагаемое: \(C(5, 0) \cdot (3x)^5 \cdot 1^0 = 1 \cdot (3x)^5 \cdot 1 = 243x^5\)
- Второе слагаемое: \(C(5, 1) \cdot (3x)^4 \cdot 1^1 = 5 \cdot (3x)^4 \cdot 1 = 405x^4\)
- Третье слагаемое: \(C(5, 2) \cdot (3x)^3 \cdot 1^2 = 10 \cdot (3x)^3 \cdot 1^2 = 270x^3\)

Таким образом, первые три слагаемых в раскрытии бинома \((3x + 1)^5\) при возрастании степени х равны:
- Первое слагаемое: 243x^5
- Второе слагаемое: 405x^4
- Третье слагаемое: 270x^3

2) (1 - x)^5
Аналогично раскроем бином \((1 - x)^5\):
\((1 - x)^5 = C(5, 0) \cdot 1^5 \cdot (-x)^0 + C(5, 1) \cdot 1^4 \cdot (-x)^1 + C(5, 2) \cdot 1^3 \cdot (-x)^2 + C(5, 3) \cdot 1^2 \cdot (-x)^3 + C(5, 4) \cdot 1^1 \cdot (-x)^4 + C(5, 5) \cdot 1^0 \cdot (-x)^5\)

Далее вычислим каждое слагаемое:
- Первое слагаемое: \(C(5, 0) \cdot 1^5 \cdot (-x)^0 = 1 \cdot 1^5 \cdot (-x)^0 = 1\)
- Второе слагаемое: \(C(5, 1) \cdot 1^4 \cdot (-x)^1 = 5 \cdot 1^4 \cdot (-x)^1 = -5x\)
- Третье слагаемое: \(C(5, 2) \cdot 1^3 \cdot (-x)^2 = 10 \cdot 1^3 \cdot (-x)^2 = 10x^2\)

Итак, первые три слагаемых в раскрытии бинома \((1 - x)^5\) при возрастании степени х равны:
- Первое слагаемое: 1
- Второе слагаемое: -5x
- Третье слагаемое: 10x^2

В ответе я привел каждый шаг раскрытия биномов с подробными выкладками, чтобы ответ был понятен школьнику.