Каковы наименьшее и наибольшее значение выражения: а) 3cos^2a -sin^2a б) 4sin^4a - 4cos^4a если можно без использования

Для решения этой задачи, давайте воспользуемся необходимыми свойствами тригонометрических функций.

а) Для выражения \(3\cos^2a - \sin^2a\), начнем с преобразования косинуса в синус:

\[3\cos^2a - \sin^2a = 3(1 - \sin^2a) - \sin^2a\]

Раскроем скобки:

\[3 - 3\sin^2a - \sin^2a\]

Объединим подобные слагаемые:

\[3 - 4\sin^2a\]

Наименьшее значение этого выражения достигается, когда \(\sin^2a\) равно максимально возможному значению, равному единице. Подставим это значение:

\[3 - 4 \cdot 1 = 3 - 4 = -1\]

Таким образом, наименьшее значение выражения \(3\cos^2a - \sin^2a\) равно -1.

Чтобы найти наибольшее значение, мы знаем, что \(\sin^2a\) не может быть больше единицы, так как это квадрат синуса, который всегда ограничен значениями от 0 до 1. В таком случае, наибольшее значение этого выражения достигается, когда \(\sin^2a\) равно нулю. Таким образом, мы должны найти максимум выражения \(3 - 4 \cdot 0\), что равно 3.

Итак, наименьшее значение выражения \(3\cos^2a - \sin^2a\) равно -1, а наибольшее значение равно 3.

б) Для выражения \(4\sin^4a - 4\cos^4a\), мы можем использовать известные тригонометрические тождества, чтобы свести его к более простой форме.

Сначала воспользуемся формулой \(\sin^2a + \cos^2a = 1\) и выразим \(\sin^2a\) через \(\cos^2a\):

\(\sin^2a = 1 - \cos^2a\)

Теперь подставим это обратно в исходное выражение:

\(4(1 - \cos^2a)^2 - 4\cos^4a\)

Раскроем квадрат:

\(4(1 - 2\cos^2a + \cos^4a) - 4\cos^4a\)

Распределим множители:

\(4 - 8\cos^2a + 4\cos^4a - 4\cos^4a\)

Сократим подобные слагаемые:

\(4 - 8\cos^2a\)

Таким образом, наименьшее значение этого выражения достигается, когда \(\cos^2a\) равно максимально возможному значению, равному единице. Подставим это значение:

\(4 - 8 \cdot 1 = 4 - 8 = -4\)

Таким образом, наименьшее значение выражения \(4\sin^4a - 4\cos^4a\) равно -4.

Аналогично, наибольшее значение этого выражения достигается, когда \(\cos^2a\) равно нулю. Таким образом, мы должны найти максимум выражения \(4 - 8 \cdot 0\), что равно 4.

Итак, наименьшее значение выражения \(4\sin^4a - 4\cos^4a\) равно -4, а наибольшее значение равно 4.