Каковы минимальное и максимальное значения функции y=-x-1/2*sin2x на интервале [0;п/2]?

Для нахождения минимального и максимального значений функции на интервале \([0, \frac{\pi}{2}]\), мы должны сначала найти критические точки, в которых производная функции равна нулю или не существует. Также нужно учитывать граничные точки интервала.

Давайте начнем с нахождения производной функции \(y = -x - \frac{1}{2} \sin^2(x)\):
\[y" = -1 - \sin(x) \cos(x)\]

Чтобы найти критические точки, мы должны решить уравнение \(y" = 0\):
\[-1 - \sin(x) \cos(x) = 0\]

Теперь, решим это уравнение:

\[
\begin{align*}
-1 - \sin(x) \cos(x) &= 0 \\
\sin(x) \cos(x) &= -1 \\
\end{align*}
\]

Заметим, что произведение синуса и косинуса может быть равно -1 только в двух случаях: когда \(\sin(x) = 1\) и \(\cos(x) = -1\), или когда \(\sin(x) = -1\) и \(\cos(x) = 1\).

Первый случай: \(\sin(x) = 1\) и \(\cos(x) = -1\)

Из уравнения \(\sin(x) = 1\) мы получаем \(x = \frac{\pi}{2}\)

Из уравнения \(\cos(x) = -1\) мы получаем \(x = \pi\)

Второй случай: \(\sin(x) = -1\) и \(\cos(x) = 1\)

Из уравнения \(\sin(x) = -1\) мы получаем \(x = -\frac{\pi}{2}\)

Из уравнения \(\cos(x) = 1\) мы получаем \(x = 0\)

Таким образом, у нас есть четыре критические точки на интервале [0, \(\frac{\pi}{2}\)]: \(x = 0\), \(x = -\frac{\pi}{2}\), \(x = \frac{\pi}{2}\), \(x = \pi\).

Теперь найдем значения функции в этих точках:

\(y(0) = -0 - \frac{1}{2} \sin^2(0) = 0\)

\(y(-\frac{\pi}{2}) = -(-\frac{\pi}{2}) - \frac{1}{2} \sin^2(-\frac{\pi}{2}) = \frac{\pi}{2} - \frac{1}{2}(-1)^2 = \frac{\pi}{2} - \frac{1}{2} = \frac{\pi}{2} - \frac{1}{2}\)

\(y(\frac{\pi}{2}) = -(\frac{\pi}{2}) - \frac{1}{2} \sin^2(\frac{\pi}{2}) = -\frac{\pi}{2} - \frac{1}{2}(1)^2 = -\frac{\pi}{2} - \frac{1}{2} = -\frac{\pi}{2} - \frac{1}{2}\)

\(y(\pi) = -\pi - \frac{1}{2} \sin^2(\pi) = -\pi - \frac{1}{2}(0)^2 = -\pi - 0 = -\pi\)

Теперь можно сравнить найденные значения функции и найти минимальное и максимальное значение на интервале [0, \(\frac{\pi}{2}\)].

Мы видим, что максимальное значение функции равно \(y_{\max} = \frac{\pi}{2} - \frac{1}{2}\) достигается в точке \(x = -\frac{\pi}{2}\).

Минимальное значение функции равно \(y_{\min} = -\pi\) достигается в точке \(x = \pi\).

Таким образом, минимальное значение функции \(y\) на интервале [0, \(\frac{\pi}{2}\)] равно \(-\pi\), а максимальное значение равно \(\frac{\pi}{2} - \frac{1}{2}\).