Каковы минимальное и максимальное значения функции y=-x-1/2*sin2x на интервале [0;п/2]?

Каковы минимальное и максимальное значения функции y=-x-1/2*sin2x на интервале [0;п/2]?
ИИ помощник ИИ помощник в учёбе
Николай_7786

Николай_7786

Для нахождения минимального и максимального значений функции на интервале [0,π2], мы должны сначала найти критические точки, в которых производная функции равна нулю или не существует. Также нужно учитывать граничные точки интервала.

Давайте начнем с нахождения производной функции y=x12sin2(x):
y"=1sin(x)cos(x)

Чтобы найти критические точки, мы должны решить уравнение y"=0:
1sin(x)cos(x)=0

Теперь, решим это уравнение:

1sin(x)cos(x)=0sin(x)cos(x)=1

Заметим, что произведение синуса и косинуса может быть равно -1 только в двух случаях: когда sin(x)=1 и cos(x)=1, или когда sin(x)=1 и cos(x)=1.

Первый случай: sin(x)=1 и cos(x)=1

Из уравнения sin(x)=1 мы получаем x=π2

Из уравнения cos(x)=1 мы получаем x=π

Второй случай: sin(x)=1 и cos(x)=1

Из уравнения sin(x)=1 мы получаем x=π2

Из уравнения cos(x)=1 мы получаем x=0

Таким образом, у нас есть четыре критические точки на интервале [0, π2]: x=0, x=π2, x=π2, x=π.

Теперь найдем значения функции в этих точках:

y(0)=012sin2(0)=0

y(π2)=(π2)12sin2(π2)=π212(1)2=π212=π212

y(π2)=(π2)12sin2(π2)=π212(1)2=π212=π212

y(π)=π12sin2(π)=π12(0)2=π0=π

Теперь можно сравнить найденные значения функции и найти минимальное и максимальное значение на интервале [0, π2].

Мы видим, что максимальное значение функции равно ymax=π212 достигается в точке x=π2.

Минимальное значение функции равно ymin=π достигается в точке x=π.

Таким образом, минимальное значение функции y на интервале [0, π2] равно π, а максимальное значение равно π212.
Знаешь ответ?
Задать вопрос
Привет!
hello