Які сторони має прямокутник, якщо його периметр дорівнює 28 см та при збільшенні двох протилежних сторін на 6

Давайте разберемся с задачей по порядку.

Первое, что мы знаем, - это периметр прямоугольника, который равен 28 см. Периметр прямоугольника - сумма всех его сторон. Пусть стороны прямоугольника обозначены через \(a\) и \(b\), тогда периметр равен \(2a + 2b = 28\).

Далее, по условию задачи, при увеличении двух противоположных сторон на 6 см и уменьшении двух других сторон на 2 см, площадь прямоугольника увеличивается на некоторое значение. Пусть \(S_1\) - это исходная площадь прямоугольника и \(S_2\) - площадь прямоугольника после изменения.

Теперь давайте найдем связь между \(S_1\) и \(S_2\). Площадь прямоугольника вычисляется как произведение его сторон: \(S_1 = a \cdot b\) и \(S_2 = (a+6)(b-2)\).

По условию задачи, площадь прямоугольника после изменения увеличивается на некоторое значение. Запишем это соотношение: \((a+6)(b-2) - a \cdot b = \Delta S\), где \(\Delta S\) - разница в площади прямоугольника.

Теперь у нас есть два уравнения: \(2a + 2b = 28\) и \((a+6)(b-2) - a \cdot b = \Delta S\). Решим эти уравнения для определения значений сторон прямоугольника и изменения в площади.

Начнем с первого уравнения, которое выражает периметр прямоугольника: \(2a + 2b = 28\). Мы можем разделить оба уравнения на 2, чтобы сократить их: \(a + b = 14\).

Теперь решим систему уравнений:

\[
\begin{align*}
a + b &= 14 \\
(a+6)(b-2) - a \cdot b &= \Delta S
\end{align*}
\]

Приведем второе уравнение в каноническую форму:

\[
\begin{align*}
(ab + 6b - 2a - 12) - ab &= \Delta S \\
6b - 2a - 12 &= \Delta S
\end{align*}
\]

Теперь можем подставить значение \(a\) из первого уравнения во второе:

\[
6b - 2(14-b) - 12 = \Delta S
\]

Раскроем скобки:

\[
6b - 28 + 2b - 12 = \Delta S
\]

Скомбинируем подобные члены:

\[
8b - 40 = \Delta S
\]

Дальше, решим полученное уравнение для нахождения значения разницы в площади \(\Delta S\):

\[
8b - 40 = \Delta S \Rightarrow 8b = \Delta S + 40 \Rightarrow b = \frac{\Delta S + 40}{8}
\]

Теперь, вернемся к первому уравнению \(a + b = 14\) и подставим найденное значение \(b\) вместо \(14-b\):

\[
a + \frac{\Delta S + 40}{8} = 14
\]

Умножим оба члена уравнения на 8, чтобы избавиться от дроби:

\[
8a + \Delta S + 40 = 112
\]

Выразим \(a\):

\[
8a = 112 - \Delta S - 40 \Rightarrow a = \frac{72 - \Delta S}{8}
\]

Теперь, мы знаем значения \(a\) и \(b\) в зависимости от \(\Delta S\). Чтобы определить значения сторон прямоугольника, подставим их в первое уравнение \(2a + 2b = 28\):

\[
2\left(\frac{72 - \Delta S}{8}\right) + 2\left(\frac{\Delta S + 40}{8}\right) = 28
\]

Приведем уравнение к более удобному виду:

\[
\frac{144 - 2\Delta S}{8} + \frac{2\Delta S + 80}{8} = 28
\]

Скомбинируем числители и вынесем общий знаменатель:

\[
\frac{224 - 16\Delta S}{8} = 28
\]

Упростим выражение:

\[
224 - 16\Delta S = 28 \cdot 8
\]

Рассчитаем правую часть уравнения:

\[
224 - 16\Delta S = 224
\]

Теперь, выразим \(\Delta S\):

\[
-16\Delta S = 0 \Rightarrow \Delta S = 0
\]

Подставим \(\Delta S = 0\) в уравнение для \(a\) и \(b\):

\[
a = \frac{72 - 0}{8} = 9, b = \frac{0 + 40}{8} = 5
\]

То есть, при \(\Delta S = 0\), стороны прямоугольника равны 9 см и 5 см.

Итак, ответ: прямоугольник имеет стороны 9 см и 5 см.