Найти разность прогрессии, которая приведет к наименьшему значению произведения третьего и пятого членов прогрессии

Хорошо, давайте решим эту задачу шаг за шагом.

Пусть первый член прогрессии равен \( a \), а её разность равна \( d \). Тогда второй член будет равен \( a + d \), третий член будет равен \( a + 2d \), а пятый член будет равен \( a + 4d \).

Зная это, мы можем записать уравнение, описывающее данную прогрессию:

\[ (a + 2d) \cdot (a + 4d) = (a + 3d + a + 4d) \]

Раскроем скобки:

\[ (a^2 + 2ad + 4ad + 8d^2) = (2a + 7d) \]

\[ a^2 + 6ad + 8d^2 = 2a + 7d \]

\[ a^2 + 4ad + 8d^2 - 2a - 7d = 0 \]

Теперь нам нужно найти разность прогрессии, которая приведет к наименьшему значению произведения третьего и пятого членов. Для этого мы возьмем производную от этого уравнения и приравняем её к нулю:

\[ \frac{{da}}{{dd}} (a^2 + 4ad + 8d^2 - 2a - 7d) = 0 \]

\[ 4a + 8d - 2 = 0 \]

\[ 4a + 8d = 2 \]

\[ 4(a + 2d) = 2 \]

\[ a + 2d = \frac{1}{2} \]

Из этого уравнения мы можем выразить \( a \) через \( d \):

\[ a = \frac{1}{2} - 2d \]

Теперь мы можем подставить это значение в уравнение прогрессии:

\[ (a + 2d) \cdot (a + 4d) = (a + 3d + a + 4d) \]

\[ (\frac{1}{2} - 2d + 2d) \cdot (\frac{1}{2} - 2d + 4d) = (\frac{1}{2} - 2d + 3d + \frac{1}{2} - 2d + 4d) \]

\[ (\frac{1}{2}) \cdot (\frac{1}{2} + 2d) = (1 - d) \]

\[ \frac{1}{4} + \frac{d}{2} = 1 - d \]

\[ \frac{d}{2} + d = 1 - \frac{1}{4} \]

\[ \frac{3d}{2} = \frac{3}{4} \]

\[ d = \frac{1}{2} \]

Таким образом, разность прогрессии, которая приведет к наименьшему значению произведения третьего и пятого членов, равна \( \frac{1}{2} \).