Каковы координаты точки минимума функции y = (x-12)^2 * e^-x-14?

Хорошо! Решим задачу о нахождении координат точки минимума функции \(y = (x-12)^2 \cdot e^{-x}-14\).

1. Для начала, найдем производную \(y\) по переменной \(x\), чтобы найти точку экстремума (минимума или максимума) функции. Используя правило производной произведения, получаем:

\[
\frac{dy}{dx} = 2(x-12) \cdot e^{-x} - (x-12)^2 \cdot e^{-x}
\]

2. Теперь приравняем производную к нулю и решим полученное уравнение для нахождения точки экстремума:

\[
2(x-12) \cdot e^{-x} - (x-12)^2 \cdot e^{-x} = 0
\]

3. Факторизуем выражение и вынесем общий множитель \(e^{-x}\):

\[
e^{-x} \cdot (2(x-12) - (x-12)^2) = 0
\]

4. Так как \(e^{-x}\) не может быть равным нулю, то остается уравнение:

\[
2(x-12) - (x-12)^2 = 0
\]

5. Раскроем квадрат и приведем подобные слагаемые:

\[
2x - 24 - (x^2 - 24x + 144) = 0
\]

6. Упростим уравнение:

\[
x^2 - 26x + 120 = 0
\]

7. Теперь решим квадратное уравнение. Можем воспользоваться либо формулой квадратного корня, либо разложением на множители. Поскольку в данном случае разложение на множители проще, воспользуемся этим методом:

\[
(x-6)(x-20) = 0
\]

8. Получаем два возможных значения для \(x\): \(x_1 = 6\) и \(x_2 = 20\).

9. Чтобы найти соответствующие значения \(y\), подставим найденные значения \(x\) в исходную функцию \(y = (x-12)^2 \cdot e^{-x}-14\):

\(
y_1 = (6-12)^2 \cdot e^{-6}-14 \approx -14.67
\)

\(
y_2 = (20-12)^2 \cdot e^{-20}-14 \approx -13.21
\)

Таким образом, координаты точек минимума функции \(y = (x-12)^2 \cdot e^{-x}-14\) равны (6, -14.67) и (20, -13.21).