Каковы координаты точки максимума функции f(x) = x^3 + 17,5x^2 + 50x

Для определения координат точки максимума функции \(f(x) = x^3 + 17.5x^2 + 50x\) мы должны найти место, где первая производная этой функции равна нулю, а вторая производная отрицательна.

Шаг 1: Найдем первую производную функции \(f(x)\).
Для этого возьмем производную каждого члена функции по отдельности и объединим их вместе:
\[f"(x) = \frac{d}{dx}(x^3) + \frac{d}{dx}(17.5x^2) + \frac{d}{dx}(50x)\]

Проделав вычисления, получим:
\[f"(x) = 3x^2 + 35x + 50\]

Шаг 2: Найдем место, где первая производная равна нулю.
Для этого приравняем \(f"(x)\) к нулю и решим уравнение:
\[3x^2 + 35x + 50 = 0\]

Можем решить это квадратное уравнение, используя метод дискриминанта или факторизации. В данном случае, для упрощения вычислений, воспользуемся факторизацией:
\[ (3x + 10)(x + 5) = 0\]

Теперь мы знаем, что одним из решений уравнения является \(-5\), а другим \(-\frac{10}{3}\).

Шаг 3: Проверим, какая точка является максимумом.
Для этого найдем значение второй производной функции \(f(x)\).
Снова возьмем производную функции \(f"(x)\):
\[f""(x) = \frac{d}{dx}(3x^2 + 35x + 50)\]

Вычислим это:
\[f""(x) = 6x + 35\]

Шаг 4: Подставим полученные значения второй производной в найденные значения \(x\).
Для \(x = -5\), получаем:
\[f""(-5) = 6(-5) + 35 = -30 + 35 = 5\]

Для \(x = -\frac{10}{3}\), получаем:
\[f""\left(-\frac{10}{3}\right) = 6\left(-\frac{10}{3}\right) + 35 = -20 + 35 = 15\]

Шаг 5: Сделаем выводы.
Учитывая значения второй производной, мы видим, что при \(x = -5\) она положительна (\(f""(-5) = 5\)), а при \(x = -\frac{10}{3}\) она отрицательна (\(f""\left(-\frac{10}{3}\right) = 15\)).

Это означает, что точка \((-5, f(-5))\) является точкой минимума функции \(f(x)\), а точка \((-10/3, f(-10/3))\) является точкой максимума функции \(f(x)\).

Чтобы найти значения функции \(f(x)\) в указанных точках, подставим значения \(x\) в функцию \(f(x)\):
\[f(-5) = (-5)^3 + 17.5(-5)^2 + 50(-5) = -125 - 437.5 - 250 = -812.5\]
\[f\left(-\frac{10}{3}\right) = \left(-\frac{10}{3}\right)^3 + 17.5\left(-\frac{10}{3}\right)^2 + 50\left(-\frac{10}{3}\right) = -\frac{1000}{27} + \frac{350}{3} - \frac{500}{3} = -\frac{1600}{27}\]

Таким образом, координаты точки максимума функции \(f(x)\) равны \(\left(-\frac{10}{3}, -\frac{1600}{27}\right)\).