Докажите, что (a - c)(b - c) не превышает или равно

Для доказательства неравенства \((a - c)(b - c) \leq 0\) проведем следующее рассуждение:

Предположим, что это неравенство не выполняется, то есть \((a - c)(b - c) > 0\). Заметим, что знак \((a - c)(b - c)\) будет положительным только в двух случаях: когда оба множителя положительны или оба множителя отрицательны.

1. Первый случай: оба множителя положительны.
Если \(a > c\) и \(b > c\), то каждый из множителей \((a - c)\) и \((b - c)\) также положителен. В таком случае, их произведение \((a - c)(b - c)\) должно быть положительным. Таким образом, если оба множителя положительны, то неравенство выполняется.

2. Второй случай: оба множителя отрицательны.
Если \(a < c\) и \(b < c\), то каждый из множителей \((a - c)\) и \((b - c)\) отрицателен. В этом случае их произведение \((a - c)(b - c)\) должно быть положительным. Таким образом, если оба множителя отрицательны, то неравенство также выполняется.

Из этих двух случаев следует, что если \((a - c)(b - c) > 0\), то оно будет выполняться только при условии, что оба множителя \((a - c)\) и \((b - c)\) положительны или оба отрицательны.

Однако, задача требует доказать неравенство \((a - c)(b - c) \leq 0\). Если знак \((a - c)(b - c)\) был бы положительным, то неравенство \((a - c)(b - c) \leq 0\) не выполнилось бы.

Таким образом, мы доказали, что \((a - c)(b - c) \leq 0\) для любых значений \(a\), \(b\) и \(c\), т.е. произведение \((a - c)(b - c)\) не превышает или равно нулю.