Каковы характеристики квадратичной функции y = x2 – 10x + 24? Чему равна её вершина? Из-за каких строго положительных

Для начала давайте определим характеристики данной квадратичной функции \(y = x^2 - 10x + 24\).

1. Коэффициент перед \(x^2\) равен 1, коэффициент перед \(x\) равен -10, и свободный член равен 24. Таким образом, у нас есть следующие характеристики:
* Старший коэффициент: 1 (это означает, что у нас есть квадратичная функция)
* Коэффициент при \(x\): -10
* Свободный член: 24

Теперь рассмотрим остальные вопросы по очереди:

2. Чтобы найти вершину параболы, нам нужно использовать формулу \(x = -\frac{b}{2a}\), где a и b - это коэффициенты при \(x^2\) и \(x\) соответственно. В нашем случае, \(a = 1\) и \(b = -10\). Подставим их в формулу:
\[
x = -\frac{(-10)}{2(1)} = -\frac{-10}{2} = 5
\]

Таким образом, вершина параболы находится в точке (5, f(5)), где f(5) - это значение функции при x = 5.

3. Ветви параболы направлены вверх, когда старший коэффициент (коэффициент при \(x^2\)) является положительным числом. В данной функции старший коэффициент равен 1, что является положительным числом. Следовательно, ветви параболы направлены вверх.

4. Для определения интервалов возрастания и убывания функции, нам нужно проанализировать знак производной функции. Производная функции \(y = x^2 - 10x + 24\) равна \(y" = 2x - 10\). Чтобы найти значения x, при которых функция возрастает или убывает, мы должны найти значения x, при которых производная равна 0. Решим уравнение \(2x - 10 = 0\) для этого:
\[
2x = 10
\]
\[
x = 5
\]

Итак, производная равна 0 при \(x = 5\). Теперь мы знаем, что у нас есть локальный экстремум (вершина) в этой точке. Мы можем использовать тест знаков, чтобы определить интервалы возрастания и убывания функции. Выберем значения x между 0 и 5, и значения больше 5, чтобы проверить знак производной на этих интервалах.

- Если мы возьмем значение x = 4, подставим его в производную:
\[
2(4) - 10 = -2
\]
Видим, что значение производной отрицательное, что означает, что функция убывает для этого интервала.

- Если мы возьмем значение x = 6, подставим его в производную:
\[
2(6) - 10 = 2
\]
Видим, что значение производной положительное, что означает, что функция возрастает для этого интервала.

Таким образом, функция \(y = x^2 - 10x + 24\) возрастает на интервале (5, +∞) и убывает на интервале (-∞, 5).

5. Чтобы найти наименьшее значение функции, нам нужно определить значение функции в ее вершине. Мы уже вычислили вершину ранее, которая равна (5, f(5)). Подставим x = 5 в исходную функцию:
\[
y = (5)^2 - 10(5) + 24 = 25 - 50 + 24 = -1
\]
Таким образом, наименьшее значение функции равно -1.

6. Чтобы найти нули функции, нам нужно найти значения x, при которых функция равна 0. Мы можем воспользоваться формулой дискриминанта \(\Delta = b^2 - 4ac\) и формулой корней квадратного уравнения \(x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}\).

В нашем случае, уравнение \(x^2 - 10x + 24 = 0\) имеет следующие коэффициенты: \(a = 1\), \(b = -10\), \(c = 24\). Вычислим дискриминант:
\[
\Delta = (-10)^2 - 4(1)(24) = 100 - 96 = 4
\]

Так как дискриминант положительный, у нас есть два различных действительных корня. Применяя формулу для корней квадратного уравнения:
\[
x = \frac{-(-10) \pm \sqrt{4}}{2(1)} = \frac{10 \pm 2}{2} = 5 \pm 1
\]

Таким образом, нули функции находятся в точках x = 4 и x = 6.

Надеюсь, это пошаговое решение поможет вам понять данную квадратичную функцию и ее характеристики. Дайте знать, если у вас возникнут еще вопросы!