Каковы длины сторон треугольника ABC при известных значениях сторон BC=5√3, AB=10см и угле B=30 градусов?

Для решения этой задачи воспользуемся теоремой косинусов, которая связывает длины сторон треугольника с косинусами его углов. Теорема косинусов гласит:

\[c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos(C)\]

где \(c\) - длина стороны противолежащей углу \(C\), \(a\) и \(b\) - длины других двух сторон, \(\cos(C)\) - косинус угла \(C\).

В данной задаче известны значения сторон \(BC = 5\sqrt{3}\) и \(AB = 10\) см, а также угол \(B = 30^\circ\). Мы хотим найти длины остальных двух сторон треугольника.

Обозначим длины сторон треугольника как \(AC = a\) и \(BC = b\). Таким образом, нам нужно найти значения \(a\) и \(c\).

Используя теорему косинусов, можем записать уравнение для стороны AC:

\[a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos(A)\]

Так как угол \(A\) можно найти, выразив его через известные значения, используя свойство суммы углов треугольника:

\[A = 180 - B - C\]

В данной задаче \(B = 30^\circ\), поэтому:

\[A = 180 - 30 - C = 150 - C\]

Теперь мы можем записать уравнение для стороны AC в терминах известных значений:

\[a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos(150 - C)\]

Подставим известные значения:

\[a^2 = (5\sqrt{3})^2 + (10)^2 - 2(5\sqrt{3})(10)\cos(150 - C)\]

\[a^2 = 75 + 100 - 100\sqrt{3}\cos(150 - C)\]

Осталось найти косинус значения \(C\). Мы знаем, что в треугольнике сумма углов равна 180 градусам, поэтому:

\(A + B + C = 180\)

\(C = 180 - A - B = 180 - (150 - C + 30) = 60^\circ\)

Теперь мы знаем значения всех углов треугольника. Так как угол B равен 30 градусам, а угол C равен 60 градусам, угол A будет:

\(A = 180 - B - C = 180 - 30 - 60 = 90^\circ\)

Используя значение \(C = 60^\circ\), мы можем подставить его в уравнение для стороны AC:

\[a^2 = 75 + 100 - 100\sqrt{3}\cos(150 - 60)\]

\[a^2 = 175 - 100\sqrt{3}\cos(90)\]

Так как \(\cos(90) = 0\), у нас остается:

\[a^2 = 175\]

Поскольку мы ищем длину стороны, которая не может быть отрицательной, получаем:

\[a = \sqrt{175} = 5\sqrt{7}\]

Таким образом, длины сторон треугольника ABC при известных значениях \(BC = 5\sqrt{3}\), \(AB = 10\) см и \(B = 30^\circ\) равны:

\(AC = 5\sqrt{7}\) см и \(BC = 5\sqrt{3}\) см.