Каковы длины сторон прямоугольника, если его периметр равен 42 см, а площадь равна 104 см²?

Давайте решим данную задачу о прямоугольнике. Для начала, нам необходимо определить две неизвестные переменные - длину и ширину прямоугольника. Пусть длина будет обозначена как \(a\), а ширина - как \(b\).

Мы знаем, что периметр прямоугольника выражается как сумма длин всех его сторон. В данном случае, периметр равен 42 см, следовательно:

\[2a + 2b = 42\]

Также, известно, что площадь прямоугольника равна произведению его длины на ширину:

\[ab = 104\]

У нас есть система уравнений для определения длины и ширины. Мы можем использовать любой метод для решения системы, и в данном случае наиболее удобным будет метод замены.

Давайте решим первое уравнение относительно переменной \(a\):

\[2a + 2b = 42\]
\[2a = 42 - 2b\]
\[a = \frac{42 - 2b}{2}\]
\[a = 21 - b\]

Теперь мы можем подставить это выражение для \(a\) во второе уравнение:

\[(21 - b)b = 104\]
\[21b - b^2 = 104\]
\[b^2 - 21b + 104 = 0\]

Теперь у нас есть квадратное уравнение. Давайте решим его с помощью факторизации или квадратного уравнения:

\[(b - 8)(b - 13) = 0\]

Отсюда получаем два возможных значения для \(b\): \(b = 8\) и \(b = 13\).

Теперь подставим эти значения обратно в первое уравнение для определения соответствующих значений \(a\):

При \(b = 8\):
\[a = 21 - 8 = 13\]

При \(b = 13\):
\[a = 21 - 13 = 8\]

Итак, мы получили два набора значений для сторон прямоугольника: при \(a = 13\) и \(b = 8\) или при \(a = 8\) и \(b = 13\).