Каковы длины сторон прямоугольника, если его периметр равен 114 метрам, а площадь - 800 метров квадратных?

Давайте решим эту задачу шаг за шагом.

Периметр прямоугольника равен сумме всех его сторон. Пусть длина одной стороны прямоугольника равна \(x\) метров, а ширина - \(y\) метров.

Тогда периметр можно представить следующим образом:

\[2x + 2y = 114\]

Так как у нас есть только одно уравнение, мы не можем точно найти значения для обеих сторон. Но у нас есть еще информация - площадь прямоугольника. Площадь прямоугольника можно найти, умножив его длину на ширину:

\[xy = 800\]

Теперь у нас есть система уравнений:

\[
\begin{cases}
2x + 2y = 114 \\
xy = 800
\end{cases}
\]

Давайте решим эту систему для нахождения значений длины и ширины прямоугольника.

Используя метод подстановки, мы можем выразить одну переменную через другую из одного уравнения и подставить это значение во второе уравнение.

Решим первое уравнение относительно \(y\):

\[2y = 114 - 2x \Rightarrow y = 57 - x\]

Затем подставим это значение \(y\) во второе уравнение:

\[x(57 - x) = 800\]

Распределим \(x\) в скобках:

\[57x - x^2 = 800\]

Теперь у нас есть квадратное уравнение. Перенесем все термины в левую сторону:

\[x^2 - 57x + 800 = 0\]

Это уравнение можно решить, используя факторизацию или квадратное уравнение. Если мы раскладываем его на множители, мы получим:

\[(x - 25)(x - 32) = 0\]

Отсюда получаем два возможных значения для \(x\): \(x = 25\) или \(x = 32\).

Теперь, чтобы найти значения для \(y\), подставим найденные значения \(x\) в одно из исходных уравнений. Давайте подставим \(x = 25\):

\[2(25) + 2y = 114\]
\[50 + 2y = 114\]
\[2y = 64\]
\[y = 32\]

Таким образом, одна сторона прямоугольника равна 25 метрам, а другая сторона - 32 метра.

Если же мы бы выбрали \(x = 32\) вместо \(x = 25\), мы бы получили следующее:

\[2(32) + 2y = 114\]
\[64 + 2y = 114\]
\[2y = 50\]
\[y = 25\]

То есть, одна сторона прямоугольника равна 32 метрам, а другая - 25 метрам.

Таким образом, все возможные значения сторон прямоугольника, при условии, что его периметр равен 114 метрам, а площадь - 800 метрам квадратным, это:
- сторона 1: 25 метров, сторона 2: 32 метра;
- сторона 1: 32 метра, сторона 2: 25 метров.