Каковы длины дуг, на которые разделены вершины описанной окружности треугольника? Дано, что сторона треугольника равна

Для решения этой задачи, мы должны использовать соотношение, связывающее длину дуги окружности и центральный угол, описывающий эту дугу. Длина дуги можно вычислить по следующей формуле:

\[L = R \cdot \theta\]

где \(L\) - длина дуги, \(R\) - радиус окружности, \(\theta\) - центральный угол в радианах.

Для начала найдём радиус окружности, описанной вокруг треугольника. Для этого мы можем использовать формулу, связывающую радиус описанной окружности с длинами сторон треугольника:

\[R = \frac{abc}{4S}\]

где \(a\), \(b\), и \(c\) - длины сторон треугольника, а \(S\) - его площадь.

Чтобы вычислить площадь треугольника, мы можем использовать формулу Герона:

\[S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}\]

где \(p\) - полупериметр треугольника, задаваемый как \(p = \frac{a+b+c}{2}\).

Итак, воспользуемся этими формулами для решения задачи.

1. Радиус описанной окружности:

\[R = \frac{abc}{4S} = \frac{5 \cdot 5 \cdot 5}{4 \cdot \sqrt{\left(\frac{5+5+5}{2}\right)\left(\left(\frac{5+5+5}{2}\right)-5\right)\left(\left(\frac{5+5+5}{2}\right)-5\right)\left(\left(\frac{5+5+5}{2}\right)-5\right)}}\]

2. Полупериметр треугольника:

\[p = \frac{a+b+c}{2} = \frac{5+5+5}{2}\]

3. Площадь треугольника:

\[S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} = \sqrt{\frac{5+5+5}{2}\left(\frac{5+5+5}{2}-5\right)\left(\frac{5+5+5}{2}-5\right)\left(\frac{5+5+5}{2}-5\right)}\]

4. Полученные значения \(R\) и \(S\) подставим в формулу для длины дуги с углом 45°:

\[L_1 = R \cdot \frac{45\pi}{180} = R \cdot \frac{\pi}{4}\]

и для длины дуги с углом 105°:

\[L_2 = R \cdot \frac{105\pi}{180} = R \cdot \frac{7\pi}{12}\]

Таким образом, длина дуги, на которую разделена вершина описанной окружности треугольника углами 45° и 105°, равны \(L_1 = R \cdot \frac{\pi}{4}\) и \(L_2 = R \cdot \frac{7\pi}{12}\) соответственно. Подставляя значения радиуса \(R\), мы можем вычислить конечные результаты.