У нас есть треугольник ABC, где P лежит на AC, а N лежит на BC. Отношение PC к AC равно отношению NC к BC, то есть

Обратимся к задаче.

1) Чтобы показать, что отрезок PN параллелен плоскости BETA, нам нужно воспользоваться свойствами параллельных прямых и плоскостей. В данной задаче мы знаем, что плоскость BETA проходит через прямую AB. Значит, плоскость BETA параллельна плоскости, содержащей треугольник ABC. Исходя из этого, отрезок, лежащий в плоскости ABC и параллельный плоскости BETA, будет параллелен самой плоскости BETA. Итак, чтобы доказать параллельность отрезка PN и плоскости BETA, нужно показать, что отрезок PN лежит в плоскости ABC. Для этого воспользуемся теоремой Пифагора и отношениями, заданными в условии.

2) Для нахождения длины отрезка PN, нам нужно знать длину отрезка AB. К сожалению, в условии задачи данной информации нет. Поэтому мы не можем определить длину отрезка PN точно.

Однако, мы можем предоставить формулу для вычисления длины отрезка PN, если мы предположим, что AB равно \(x\) (где \(x\) - неизвестное нам значение).

По условию задачи, отношение длины отрезка PC к длине отрезка AC равно 3:7. Значит, мы можем записать:

\(\frac{PC}{AC} = \frac{3}{7}\).

Отношение длины отрезка NC к длине отрезка BC также равно 3:7:

\(\frac{NC}{BC} = \frac{3}{7}\).

Так как P лежит на отрезке AC, а N лежит на отрезке BC, сумма отношений равна единице:

\(\frac{PC}{AC} + \frac{NC}{BC} = 1\).

Подставим значения:

\(\frac{3}{7} + \frac{3}{7} = 1\).

Заметим, что сумма коэффициентов равна 6/7, а не 1. В таком случае, отношение не равно единице, что противоречит условию задачи. Таким образом, невозможно точно определить длину отрезка PN без дополнительной информации о длине отрезка AB.