1. Переформулируйте координаты четырех вершин куба mnpqm1p1q1, чтобы найти координаты остальных вершин

1. Для данной задачи, чтобы найти координаты остальных вершин куба, мы можем использовать свойство куба, заключающееся в том, что все его стороны равны друг другу.

Давайте разберемся в подробностях. Предположим, что известны координаты вершины \(m(m_1,m_2,m_3)\). Куб имеет следующие вершины:

\(m(m_1,m_2,m_3)\),
\(n(n_1,n_2,n_3)\),
\(p(p_1,p_2,p_3)\),
\(q(q_1,q_2,q_3)\),
\(m_1(m_{11},m_{12},m_{13})\),
\(p_1(p_{11},p_{12},p_{13})\),
\(q_1(q_{11},q_{12},q_{13})\).

Так как стороны куба равны, мы можем найти координаты остальных вершин следующим образом:

\(n(n_1,n_2,n_3) = m(m_1+1,m_2,m_3)\),
\(p(p_1,p_2,p_3) = m(m_1+1,m_2+1,m_3)\),
\(q(q_1,q_2,q_3) = m(m_1+1,m_2+1,m_3+1)\),
\(m_1(m_{11},m_{12},m_{13}) = m(m_1,m_2+1,m_3)\),
\(p_1(p_{11},p_{12},p_{13}) = m(m_1+1,m_2+1,m_3+1)\),
\(q_1(q_{11},q_{12},q_{13}) = m(m_1+1,m_2,m_3+1)\).

2. Чтобы найти расстояние от точки \(m(m_1,m_2,m_3)\) до осей координат, мы можем использовать формулу расстояния между двумя точками в трехмерном пространстве.

Расстояние от точки \(m(m_1,m_2,m_3)\) до оси \(x\) равно модулю значения \(m_1\). Расстояние до оси \(y\) равно модулю значения \(m_2\), а расстояние до оси \(z\) равно модулю значения \(m_3\).

Таким образом, расстояние от точки \(m\) до осей координат равно:

Расстояние до оси \(x\): \(|m_1|\),
Расстояние до оси \(y\): \(|m_2|\),
Расстояние до оси \(z\): \(|m_3|\).

3. Чтобы вычислить расстояние между серединами отрезков \(mn\) и \(pq\), мы можем использовать формулу расстояния между двумя точками в трехмерном пространстве.

Сначала найдем координаты середин отрезков \(mn\) и \(pq\). Для нахождения середины отрезка, мы можем использовать среднее арифметическое координат вершин этого отрезка.

Середина отрезка \(mn\) имеет координаты \(((m_1 + n_1)/2, (m_2 + n_2)/2, (m_3 + n_3)/2)\).

Середина отрезка \(pq\) имеет координаты \(((p_1 + q_1)/2, (p_2 + q_2)/2, (p_3 + q_3)/2)\).

Далее, используем формулу расстояния между двумя точками в трехмерном пространстве:

\[
d = \sqrt{{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}}
\]

где \((x_1, y_1, z_1)\) - координаты середины отрезка \(mn\) и \((x_2, y_2, z_2)\) - координаты середины отрезка \(pq\).

Таким образом, расстояние между серединами отрезков \(mn\) и \(pq\) равно:

\[
d = \sqrt{{((m_1 + n_1)/2 - (p_1 + q_1)/2)^2 + ((m_2 + n_2)/2 - (p_2 + q_2)/2)^2 + ((m_3 + n_3)/2 - (p_3 + q_3)/2)^2}}
\]

4. Чтобы вычислить скалярное произведение векторов \(mn\) и \(pq\), используем формулу скалярного произведения:

\[
\vec{mn} \cdot \vec{pq} = m_1 \cdot p_1 + m_2 \cdot p_2 + m_3 \cdot p_3
\]

где \(m_1\), \(m_2\), \(m_3\) - координаты вектора \(\vec{mn}\), а \(p_1\), \(p_2\), \(p_3\) - координаты вектора \(\vec{pq}\).

Таким образом, скалярное произведение векторов \(mn\) и \(pq\) равно:

\[
\vec{mn} \cdot \vec{pq} = m_1 \cdot p_1 + m_2 \cdot p_2 + m_3 \cdot p_3
\]