Каково значение выражения tg^2a/1-ctg^2a при заданном значении sina=2/3?

Дано выражение: \(\frac{{\text{{tg}}^2 a}}{{1 - \text{{ctg}}^2 a}}\), где \(a\) - неизвестный угол, а значение \(\sin a = \frac{2}{3}\).

Для решения задачи, нам необходимо найти значение тангенса и котангенса угла \(a\), используя данную информацию.

Сначала найдем значение тангенса угла \(a\). Мы знаем, что \(\sin a = \frac{2}{3}\). Для нахождения тангенса, воспользуемся соотношением между синусом и тангенсом: \(\tan a = \frac{{\sin a}}{{\cos a}}\).

Так как нам дано только значение синуса, нам необходимо найти значение косинуса. Для этого воспользуемся теоремой Пифагора: \(\sin^2 a + \cos^2 a = 1\).

Подставив значение синуса, получим: \(\left(\frac{2}{3}\right)^2 + \cos^2 a = 1\). Вычислим это выражение: \(\frac{4}{9} + \cos^2 a = 1\).

Теперь найдем значение косинуса \(a\): \(\cos^2 a = 1 - \frac{4}{9} = \frac{5}{9}\). Извлекая квадратный корень, получим: \(\cos a = \sqrt{\frac{5}{9}} = \frac{\sqrt{5}}{3}\).

Теперь, подставив значения синуса и косинуса в формулу для тангенса, получим: \(\tan a = \frac{{\sin a}}{{\cos a}} = \frac{\frac{2}{3}}{\frac{\sqrt{5}}{3}} = \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5}\).

Теперь мы можем использовать найденные значения для нахождения значения выражения \(\frac{{\text{{tg}}^2 a}}{{1 - \text{{ctg}}^2 a}}\).

Подставим найденное значение тангенса угла \(a\): \(\text{{tg}}^2 a = \left(\frac{2\sqrt{5}}{5}\right)^2 = \frac{4 \cdot 5}{25} = \frac{20}{25} = \frac{4}{5}\).

Теперь найдем значение котангенса: \(\text{{ctg}} a = \frac{1}{\text{{tg}} a} = \frac{1}{\frac{2\sqrt{5}}{5}} = \frac{5}{2\sqrt{5}} = \frac{5}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{5}{2\sqrt{5}} = \frac{5\sqrt{5}}{10} = \frac{\sqrt{5}}{2}\).

Теперь, подставим найденные значения тангенса и котангенса в выражение \(\frac{{\text{{tg}}^2 a}}{{1 - \text{{ctg}}^2 a}}\):

\(\frac{\frac{4}{5}}{{1 - \left(\frac{\sqrt{5}}{2}\right)^2}} = \frac{\frac{4}{5}}{{1 - \frac{5}{4}}} = \frac{\frac{4}{5}}{\frac{4 - 5}{4}} = \frac{\frac{4}{5}}{-\frac{1}{4}} = -\frac{16}{5}\).

Итак, при заданном значении \(\sin a = \frac{2}{3}\), значение выражения \(\frac{{\text{{tg}}^2 a}}{{1 - \text{{ctg}}^2 a}}\) равняется \(-\frac{16}{5}\).