Каково значение выражения 1-tg^2a/cos2a?

Чтобы найти значение выражения \(1 - \tan^2 a/\cos 2a\), нам понадобится использовать несколько свойств тригонометрии и алгебры.

Давайте начнем с решения задачи.

1. Начнем с исходного выражения: \(1 - \tan^2 a/\cos 2a\).

2. Согласно определению, \(\tan a = \sin a/\cos a\). Подставим это значение в исходное выражение и получим:

\(1 - (\sin a/\cos a)^2/\cos 2a\).

3. Помните, что \(\cos 2a = 1 - 2 \sin^2 a\). Заменим \(\cos 2a\) в исходном выражении:

\(1 - (\sin a/\cos a)^2/(1 - 2 \sin^2 a)\).

4. Приведем дробь \(\sin a/\cos a\) к общему знаменателю с помощью умножения и деления на \(\cos a\):

\(1 - \sin^2 a/\cos^2 a/(1 - 2 \sin^2 a)\).

5. Теперь вспомним идентичность \(\sin^2 a + \cos^2 a = 1\). Подставим ее, чтобы упростить выражение:

\(1 - \sin^2 a/\cos^2 a/(1 - 2(1 - \cos^2 a)/2)\).

6. Приведем числитель к общему знаменателю и упростим:

\(1 - \sin^2 a/\cos^2 a/(1 + 2\cos^2 a - 2)/2\).

7. Выполним операции и упростим:

\(1 - \sin^2 a/\cos^2 a/(1 + 2\cos^2 a - 2)/2 = (1 - \sin^2 a/\cos^2 a)/(2\cos^2 a - 1)/2\).

8. Заметим, что \(1 - \sin^2 a/\cos^2 a = \cos^2 a/\cos^2 a - \sin^2 a/\cos^2 a = (\cos^2 a - \sin^2 a)/\cos^2 a = \cos 2a/\cos^2 a\).

Таким образом, значение исходного выражения равно \(\cos 2a/\cos^2 a \div (2\cos^2 a - 1)/2 = \dfrac{\cos 2a}{\cos^2 a} \cdot \dfrac{2}{2\cos^2 a - 1}\).

9. Умножим числитель и знаменатель на \(\cos^2 a\) для упрощения:

\(\dfrac{\cos 2a}{\cos^2 a} \cdot \dfrac{2}{2\cos^2 a - 1} = \dfrac{\cos 2a \cdot \cos^2 a}{(2\cos^2 a - 1) \cdot \cos^2 a}\).

10. Применим формулу двойного угла \(\cos 2a = 2\cos^2 a - 1\):

\(\dfrac{\cos 2a \cdot \cos^2 a}{(2\cos^2 a - 1) \cdot \cos^2 a} = \dfrac{(2\cos^2 a - 1) \cdot \cos^2 a}{(2\cos^2 a - 1) \cdot \cos^2 a} = 1\).

Таким образом, значение выражения \(1 - \tan^2 a/\cos 2a\) равно 1.