Каково значение производной функции y=2cosx / sinx в точке x0=pi/4?

Решение:

Для нахождения значения производной функции в заданной точке, мы должны сначала найти саму производную функции, а затем подставить в нее значение \( x_0 \).

Исходная функция: \( y = \frac{2\cos(x)}{\sin(x)} \)

Чтобы найти производную функции, мы можем использовать правила дифференцирования. В данном случае нам понадобятся два правила: правило частного и правило дифференцирования тригонометрической функции.

1. Правило частного:

Если у нас есть функция вида \( f(x) = \frac{g(x)}{h(x)} \), то ее производная равна

\[ f"(x) = \frac{g"(x)h(x) - g(x)h"(x)}{(h(x))^2} \]

2. Правило дифференцирования тригонометрической функции:

Если \( y(x) = \cos(x) \) или \( y(x) = \sin(x) \), то \( y"(x) = -\sin(x) \) или \( y"(x) = \cos(x) \) соответственно.

Применим эти правила к исходной функции:

\[ y"(x) = \frac{(2\cos(x))" \cdot \sin(x) - 2\cos(x) \cdot (\sin(x))"}{(\sin(x))^2} \]

\[ y"(x) = \frac{-2\sin(x) \cdot \sin(x) - 2\cos(x) \cdot \cos(x)}{(\sin(x))^2} \]

\[ y"(x) = \frac{-2(\sin^2(x) + \cos^2(x))}{(\sin(x))^2} \]

\[ y"(x) = \frac{-2}{\sin^2(x)} \]

Теперь, чтобы найти значение производной функции в точке \( x_0 = \frac{\pi}{4} \), мы подставляем \( x_0 \) в полученную производную функцию:

\[ y"(\frac{\pi}{4}) = \frac{-2}{\sin^2(\frac{\pi}{4})} \]

\[ y"(\frac{\pi}{4}) = \frac{-2}{(\frac{1}{\sqrt{2}})^2} \]

\[ y"(\frac{\pi}{4}) = \frac{-2}{\frac{1}{2}} \]

\[ y"(\frac{\pi}{4}) = -4 \]

Таким образом, значение производной функции \( y = \frac{2\cos(x)}{\sin(x)} \) в точке \( x_0 = \frac{\pi}{4} \) равно -4.