Каково значение производной функции h(x)=4x+1/x+3 в точке x=-2?

Хорошо, давайте начнем с расчета производной функции \(h(x)\) по правилу дифференцирования.

Функция \(h(x)=4x+\frac{1}{x}+3\) представлена в виде суммы трех слагаемых. Для удобства будем дифференцировать каждое слагаемое по отдельности, а затем сложим результаты.

1. Дифференцируем первое слагаемое \(4x\):
Производная константы, умноженной на переменную \(x\), равна этой константе: \(\frac{d}{dx}(4x) = 4\).

2. Перейдем ко второму слагаемому \(\frac{1}{x}\):
Для этого слагаемого используем правило дифференцирования обратной функции. Производная обратной функции определяется по формуле:
\(\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{x}\right) = -\frac{1}{{x^2}}\).

3. Дифференцируем третье слагаемое, которое равно константе 3:
Производная константы равна нулю: \(\frac{d}{dx}(3) = 0\).

Теперь сложим результаты дифференцирования каждого слагаемого, чтобы получить значение производной функции \(h(x)\) в точке \(x\):
\(\frac{d}{dx}\left(4x+\frac{1}{x}+3\right) = 4 - \frac{1}{{x^2}} + 0\).

Далее, подставим точку \(x=-2\) в данное выражение:
\(\frac{d}{dx}\left(4x+\frac{1}{x}+3\right) = 4 - \frac{1}{{(-2)^2}} + 0\).

Упростим данное выражение:
\(\frac{d}{dx}\left(4x+\frac{1}{x}+3\right) = 4 - \frac{1}{4} + 0 = 4 - \frac{1}{4} = \frac{15}{4}\).

Таким образом, значение производной функции \(h(x)=4x+\frac{1}{x}+3\) в точке \(x=-2\) равно \(\frac{15}{4}\).

Если у вас возникнут еще вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь и задавайте их!