Каково значение десятого члена арифметической прогрессии, если а9 равно 21 и а11 равно

Чтобы найти значение десятого члена арифметической прогрессии, мы будем использовать формулу арифметической прогрессии. Формула для n-го члена арифметической прогрессии имеет вид:

\[a_n = a_1 + (n-1)d\]

где \(a_n\) - значение n-го члена прогрессии, \(a_1\) - значение первого члена прогрессии и \(d\) - разность между соседними членами прогрессии.

У нас есть информация, что \(a_9 = 21\) и \(a_11 = ?\). Для начала, мы должны найти значение первого члена прогрессии (\(a_1\)) и разность (\(d\)). Для этого воспользуемся данными, которые у нас есть:

\[a_9 = a_1 + (9-1)d\]

Подставим значение \(a_9 = 21\) и решим уравнение относительно \(a_1\) и \(d\):

\[21 = a_1 + 8d \quad (1)\]

Теперь мы можем использовать вторую информацию, что \(a_{11} = ?\). Подставляем в формулу для \(a_n\):

\[a_{11} = a_1 + (11-1)d\]

\[a_{11} = a_1 + 10d \quad (2)\]

У нас имеется система уравнений, состоящая из уравнений (1) и (2). Решим систему, чтобы найти значения \(a_1\) и \(d\).

Вычтем уравнение (1) из уравнения (2), чтобы избавиться от \(a_1\):

\[a_{11} - 21 = (a_1 + 10d) - (a_1 + 8d)\]

\[a_{11} - 21 = 10d - 8d\]

\[a_{11} - 21 = 2d\]

Теперь мы можем выразить \(d\):

\[2d = a_{11} - 21\]

\[d = \frac{{a_{11} - 21}}{2}\]

Таким образом, мы нашли значение разности между членами прогрессии \(d\). Далее, подставим это значение в уравнение (1), чтобы найти \(a_1\):

\[21 = a_1 + 8 \cdot \left(\frac{{a_{11} - 21}}{2}\right)\]

\[21 = a_1 + 4(a_{11} - 21)\]

\[21 = a_1 + 4a_{11} - 84\]

\[a_1 + 4a_{11} = 105 \quad (3)\]

Теперь мы имеем систему уравнений (2) и (3). Решим ее, чтобы найти значения \(a_1\) и \(a_{11}\).

Из уравнения (3) мы можем выразить \(a_1\):

\[a_1 = 105 - 4a_{11}\]

Теперь подставим это значение в уравнение (2) для \(a_{11}\):

\[a_{11} = (105 - 4a_{11}) + 10 \cdot \left(\frac{{a_{11} - 21}}{2}\right)\]

\[a_{11} = 105 - 4a_{11} + 5(a_{11} - 21)\]

\[a_{11} = 105 - 4a_{11} + 5a_{11} - 105\]

\[a_{11} = -3a_{11}\]

\[4a_{11} = 0\]

\[a_{11} = 0\]

Таким образом, мы нашли значение десятого члена арифметической прогрессии. Десятый член (\(a_{10}\)) равен нулю.