Какова сумма бесконечно убывающей прогрессии, составленной из квадратов членов одной из данных двух прогрессий?

Для решения этой задачи нам потребуется знание о бесконечно убывающих прогрессиях и методе суммирования их членов.

Дано, что у нас есть две прогрессии, и мы составляем новую прогрессию, где каждый член новой прогрессии является квадратом соответствующего члена одной из данных прогрессий.

Давайте предположим, что первая прогрессия имеет общий член \(a_1\) и знаменатель \(d_1\), а вторая прогрессия имеет общий член \(a_2\) и знаменатель \(d_2\).

Первый член новой прогрессии будет равен \(a_1^2\) (квадрат первого члена первой прогрессии), второй член новой прогрессии будет равен \(a_2^2\) (квадрат первого члена второй прогрессии) и так далее.

Таким образом, общий член новой прогрессии \(S\) будет представлен как:

\[S = a_1^2 + a_2^2 + a_3^2 + \ldots + a_n^2\]

Теперь давайте вспомним формулу для суммы убывающей геометрической прогрессии:

\[S = \frac{a_1}{1 - r}\]

где \(a_1\) - первый член, а \(r\) - знаменатель.

В нашем случае \(r = \frac{a_1^2}{a_2^2}\), так как каждый член новой прогрессии является квадратом члена одной из исходных прогрессий.

Заменяем \(r\) в формуле суммы:

\[S = \frac{a_1^2}{1 - \left(\frac{a_1^2}{a_2^2}\right)}\]

Теперь решим эту формулу и упростим её:

\[S = \frac{a_1^2}{\frac{a_2^2 - a_1^2}{a_2^2}} = \frac{a_1^2 \cdot a_2^2}{a_2^2 - a_1^2}\]

Таким образом, мы получили общую сумму бесконечно убывающей прогрессии, составленной из квадратов членов одной из исходных прогрессий.

Теперь давайте проанализируем варианты ответа:

1) \(S1 + S2\) - это просто сумма сумм двух прогрессий, что не соответствует задаче.
2) \(S1^2 + S2^2\) - это сумма квадратов сумм двух прогрессий, что тоже не верно.
3) \(| S1 + S2 |^2\) - это квадрат модуля суммы двух прогрессий, но не квадрат модуля суммы их квадратов.
4) \((S1 + S2)^2\) - это квадрат суммы двух прогрессий, что также не соответствует задаче.

Таким образом, правильный ответ на задачу - 3) \(|S1 + S2|^2\), что означает квадрат модуля суммы двух прогрессий.