Каково взаимное положение графиков линейных функций y=7x+4 и y=4x−7? (без рисования графиков

Чтобы определить взаимное положение графиков линейных функций y=7x+4 и y=4x−7, мы должны анализировать их угловые коэффициенты и свободные члены.

Угловой коэффициент линейной функции определяет ее наклон и выражается в виде отношения изменения y к изменению x. В данном случае, угловые коэффициенты равны 7 и 4, соответственно.

Если угловые коэффициенты двух линейных функций равны, то их графики параллельны. Если же угловые коэффициенты различны, то графики пересекаются в какой-то точке.

Теперь, сравним свободные члены. В первом уравнении (y=7x+4), свободный член равен 4, а во втором уравнении (y=4x−7), свободный член равен -7.

Если свободные члены двух линейных функций равны, то их графики совпадают. Если же свободные члены отличаются, то графики не совпадают и пересекаются где-то на оси координат.

Таким образом, для определения взаимного положения графиков линейных функций y=7x+4 и y=4x−7, мы обратим внимание на угловые коэффициенты и свободные члены.

В данном случае, угловые коэффициенты различны (7 и 4), значит, графики не будут параллельными. Также, свободные члены -4 и -7 различны.

Следовательно, графики пересекаются в одной точке. Чтобы найти эту точку, мы можем приравнять уравнения данных линейных функций:

7x+4 = 4x−7.

Решим это уравнение:

7x - 4x = -7 - 4,

3x = -11,

x = -11/3.

Теперь, чтобы найти y-координату этой точки, подставим найденное значение x в любое из исходных уравнений. Давайте возьмем первое уравнение y=7x+4:

y = 7*(-11/3) + 4,

y = -77/3 + 4,

y = -77/3 + 12/3,

y = -65/3.

Таким образом, графики линейных функций y=7x+4 и y=4x−7 пересекаются в точке с координатами \(\left(-\frac{11}{3}, -\frac{65}{3}\right)\).