Каково время полураспада радиоактивного изотопа, если в среднем 7500 из 8000 атомов распадаются за 12 часов?

Чтобы решить данную задачу, мы сможем воспользоваться формулой, связывающей время полураспада \(t_{1/2}\), количество вещества \(N\), начальное количество вещества \(N_0\) и конечное количество вещества \(N_t\).

Формула имеет вид:
\[N_t = N_0 \times (1/2)^{\frac{t_t}{t_{1/2}}}\]

Где:
\(N_0\) - начальное количество вещества (в нашем случае 8000 атомов),
\(N_t\) - количество вещества после прошествия заданного времени (в нашем случае 7500 атомов),
\(t_t\) - заданное время (в нашем случае 12 часов).

Мы знаем, что после прошествия времени \(t_t\) количество вещества стало \(N_t\), и нам нужно найти время полураспада \(t_{1/2}\). Для этого нам нужно найти значение показателя степени \((1/2)^{\frac{t_t}{t_{1/2}}}\), при котором получится данное количество вещества.

Решим уравнение по отношению к \(t_{1/2}\):

\[\frac{N_t}{N_0} = (1/2)^{\frac{t_t}{t_{1/2}}}\]

Подставим известные значения:

\[\frac{7500}{8000} = (1/2)^{\frac{12}{t_{1/2}}}\]

Далее возьмем логарифм от обеих частей уравнения:

\[\log(\frac{7500}{8000}) = \log((1/2)^{\frac{12}{t_{1/2}}})\]

Используя свойство логарифма \(\log(a^b) = b \cdot \log(a)\), получим:

\[\log(\frac{7500}{8000}) = \frac{12}{t_{1/2}} \cdot \log(1/2)\]

Деля обе части уравнения на \(\log(1/2)\), получим:

\[\frac{\log(\frac{7500}{8000})}{\log(1/2)} = \frac{12}{t_{1/2}}\]

Теперь можно выразить \(t_{1/2}\):

\[t_{1/2} = \frac{12}{\frac{\log(\frac{7500}{8000})}{\log(1/2)}}\]

Остается только выполнить вычисления для получения ответа. Чтобы сократить излишние десятичные разряды, округлим результат до двух десятичных знаков:

\[t_{1/2} \approx 39.14 \text{ часов}\]

Итак, время полураспада радиоактивного изотопа примерно равно 39.14 часа.