Каково уравнение движения пружины, если при ее растяжении на 20 см от положения равновесия и последующем отпускании

Для начала, давайте вспомним уравнение движения пружины, которое описывает колебания этой системы. Уравнение имеет вид:

\[T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}\]

Где:
T - период колебаний пружины,
m - масса пружины,
k - коэффициент упругости пружины.

Мы знаем, что период колебаний равен 1,5 секунды при смещении пружины на 20 см. Мы также хотим найти значение смещения пружины при периоде 1,8 секунды.

Давайте воспользуемся уравнением, чтобы найти значение коэффициента упругости пружины. Мы не знаем массу пружины, поэтому предположим, что она равна 1 единице. Тогда уравнение примет следующий вид:

\[1,5 = 2\pi \sqrt{\frac{1}{k}}\]

Решим это уравнение относительно коэффициента упругости k. Возведем обе части уравнения в квадрат:

\[2,25 = 4\pi^2 \frac{1}{k}\]

Теперь найдем обратное значение к обеим сторонам уравнения:

\[\frac{1}{2,25} = \frac{k}{4\pi^2}\]

Далее, умножим обе части уравнения на \(4\pi^2\):

\[k = \frac{4\pi^2}{2,25} = \frac{16\pi^2}{9}\]

Теперь, когда у нас есть значение коэффициента упругости, мы можем использовать его для нахождения смещения пружины при периоде 1,8 секунды.

Подставим значение периода и значение коэффициента упругости в уравнение:

\[1,8 = 2\pi \sqrt{\frac{1}{\frac{16\pi^2}{9}}}\]

Упростим выражение, сокращая значения:

\[1,8 = 2\pi \sqrt{\frac{9}{16\pi^2}}\]

Теперь избавимся от корня, возводя его в квадрат:

\[1,8 = 2\pi \frac{3}{4\pi} = \frac{3}{2}\]

Таким образом, при периоде колебаний 1,8 секунды, смещение пружины будет равно \(\frac{3}{2}\) или 1,5 см.

Таким образом, уравнение движения пружины при заданных условиях будет:

\[t = 2\pi \sqrt{\frac{m}{\frac{16\pi^2}{9}}}\]

Смещение пружины при t = 1,8 будет 1,5 см.