Как бы изменилось время падения тел с определенной высоты, если бы уменьшился радиус Земли в 2 раза при сохранении

Чтобы решить эту задачу, давайте вспомним основные законы движения тела. По закону всемирного тяготения, время падения тела с определенной высоты зависит от ускорения свободного падения и расстояния, которое тело прошло. Формула для вычисления времени падения выглядит следующим образом:

\[ t = \sqrt{\frac{2h}{g}} \]

где \(t\) - время падения, \(h\) - высота, \(g\) - ускорение свободного падения на поверхности Земли.

Дано, что радиус Земли уменьшился в 2 раза, а масса падающего тела осталась неизменной. Известно, что ускорение свободного падения на поверхности Земли зависит от массы Земли и радиуса Земли: \(g = \frac{{G \cdot M}}{{R^2}}\), где \(G\) - гравитационная постоянная, \(M\) - масса Земли, \(R\) - радиус Земли.

Теперь, когда радиус Земли уменьшился в 2 раза, новый радиус, обозначим его как \(R"\), будет равен половине исходного радиуса Земли:

\[ R" = \frac{R}{2} \]

Учитывая эти изменения, можно рассчитать новое ускорение свободного падения \(g"\) на поверхности Земли с новым радиусом:

\[ g" = \frac{{G \cdot M}}{{R"^2}} = \frac{{G \cdot M}}{{(\frac{R}{2})^2}} = 4 \cdot \frac{{G \cdot M}}{{R^2}} = 4g \]

Теперь, когда у нас есть новое значение ускорения свободного падения \(g"\), мы можем использовать формулу для вычисления времени падения с новым радиусом:

\[ t" = \sqrt{\frac{2h}{g"}} = \sqrt{\frac{2h}{4g}} = \sqrt{\frac{h}{2g}} \]

Таким образом, время падения тела с определенной высоты при уменьшении радиуса Земли в 2 раза при сохранении массы будет в 2 раза меньше исходного времени падения.