Каково скалярное произведение векторов (c+2d)*(2c-d), если длина вектора c равна 3 и длина вектора d равна 4, а

Чтобы вычислить скалярное произведение векторов \((c + 2d) \cdot (2c - d)\), мы должны сначала выразить каждый из этих векторов в координатной форме, используя заданные длины и угол между векторами. Давайте начнем!

Пусть вектор \(c\) имеет координаты \((c_1, c_2)\), а вектор \(d\) имеет координаты \((d_1, d_2)\).

Мы знаем, что длина вектора \(c\) равна 3. Это означает, что:
\[\sqrt{c_1^2 + c_2^2} = 3\]

Мы также знаем, что длина вектора \(d\) равна 4. Это означает, что:
\[\sqrt{d_1^2 + d_2^2} = 4\]

Кроме того, мы знаем, что угол между векторами \(c\) и \(d\) равен 60 градусов. Мы можем использовать формулу для cos угла между векторами, чтобы получить дополнительное условие:
\[\cos(60^\circ) = \frac{c_1d_1 + c_2d_2}{||c|| \cdot ||d||}\]

так как \(cos(60^\circ) = \frac{1}{2}\), мы можем переписать это уравнение в виде:
\[\frac{1}{2} = \frac{c_1d_1 + c_2d_2}{3 \cdot 4}\]
\[c_1d_1 + c_2d_2 = 6\]

Теперь мы можем перейти к вычислению скалярного произведения векторов \((c + 2d) \cdot (2c - d)\):

\((c + 2d) = (c_1 + 2d_1, c_2 + 2d_2)\)

\((2c - d) = (2c_1 - d_1, 2c_2 - d_2)\)

Теперь умножим координаты вектора \((c + 2d)\) на координаты вектора \((2c - d)\):
\[(c_1 + 2d_1)(2c_1 - d_1) + (c_2 + 2d_2)(2c_2 - d_2)\]

Раскроем скобки:
\(2c_1^2 - c_1d_1 + 4c_2^2 - c_2d_2 + 4d_1c_1 - 2d_1^2 + 4d_2c_2 - 2d_2^2\)

Теперь объединяем подобные члены:
\(2c_1^2 + 4c_2^2 + 4d_1c_1 + 4d_2c_2 - c_1d_1 - c_2d_2 - 2d_1^2 - 2d_2^2\)

Используя полученное выражение, мы можем подставить значения \(c_1d_1 + c_2d_2 = 6\):
\( 2c_1^2 + 4c_2^2 + 4d_1c_1 + 4d_2c_2 - 6 - 2d_1^2 - 2d_2^2\)

Теперь заменяем значения \(c_1^2 + c_2^2 = 9\) и \(d_1^2 + d_2^2 = 16\):
\(2\cdot 9 + 4\cdot 16 + 4d_1c_1 + 4d_2c_2 - 6 - 2 \cdot 16 - 2 \cdot 9\)

Упрощаем выражение:
\(18 + 64 + 4d_1c_1 + 4d_2c_2 - 6 - 32 - 18\)

\(4d_1c_1 + 4d_2c_2\)

Теперь мы можем заменить \( c_1d_1 + c_2d_2 = 6\) и вычислить ответ:
\(4 \cdot 6\)

\(24\)

Таким образом, скалярное произведение векторов \((c + 2d) \cdot (2c - d)\) равно 24.