Найти проекцию вектора а= 5; 2; 5 на ось, заданную вектором

Для того чтобы найти проекцию вектора a на ось, заданную вектором, нам необходимо воспользоваться проекционной формулой. По этой формуле проекция вектора a на ось будет равна произведению скалярного произведения векторов a и b на единичный вектор, указывающий направление оси.

Предположим, заданная ось задана вектором b = {x; y; z}, где x, y, и z - компоненты вектора b.

Сначала нам нужно вычислить скалярное произведение векторов a и b. Для этого их компоненты будут перемножены поэлементно, а затем полученные произведения сложены:

\[a \cdot b = 5x + 2y + 5z\]

После вычисления скалярного произведения нам нужно вычислить проекцию вектора a на ось b, обозначим ее как proj_a_b.

Так как проекция вектора a на ось b - это вектор, который находится на той же линии, что и ось, но имеет длину, равную произведению длины вектора a на косинус угла между векторами a и b и направлен вдоль оси b, то формула для проекции вектора a на ось b будет:

\[proj_a_b = \frac{a \cdot b}{\|b\|} \cdot \hat{b}\]

где \|b\| - длина вектора b, а \hat{b} - единичный вектор, указывающий направление оси b.

Для нахождения длины вектора b, используем формулу длины вектора:

\[\|b\| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}\]

Теперь нам нужно найти единичный вектор \hat{b}. Для этого мы делим каждую компоненту вектора b на его длину:

\[\hat{b} = \left( \frac{x}{\|b\|}, \frac{y}{\|b\|}, \frac{z}{\|b\|} \right)\]

Теперь мы можем вычислить проекцию вектора a на ось b, используя полученные значения:

\[proj_a_b = \left( \frac{5x + 2y + 5z}{\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}} \right) \left( \frac{x}{\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}}, \frac{y}{\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}}, \frac{z}{\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}} \right)\]

Таким образом, проекция вектора a на ось, заданную вектором b, равна вектору, полученному в результате вычислений выше. Необходимо только подставить значения компонент вектора b в формулу для проекции.