Каково расстояние от поверхности Земли, где гравитационная сила на тело будет в 7,4 раза слабее, чем на поверхности

Для решения данной задачи, мы можем воспользоваться законом всемирного тяготения, который гласит, что гравитационная сила \(F\) между двумя телами прямо пропорциональна произведению их масс \(m_1\) и \(m_2\) и обратно пропорциональна квадрату расстояния \(r\) между ними:

\[F = G \cdot \frac{{m_1 \cdot m_2}}{{r^2}}\],

где \(G\) - гравитационная постоянная, \(m_1\) и \(m_2\) - массы двух тел, а \(r\) - расстояние между ними.

Из условия задачи нам известно, что на расстоянии \(r\) от поверхности Земли гравитационная сила будет в 7,4 раза слабее, чем на поверхности Земли. Поэтому мы можем записать:

\[\frac{{G \cdot M \cdot m}}{{(r + h)^2}} = \frac{{G \cdot M \cdot m}}{{r^2}} \cdot \frac{1}{7.4}\],

где \(M\) - масса Земли, \(m\) - масса тела, \(h\) - высота над поверхностью Земли.

Заметим, что гравитационная постоянная \(G\) и масса тела \(m\) входят в обе части уравнения и могут сократиться:

\[\frac{{M}}{{(r + h)^2}} = \frac{{M}}{{r^2}} \cdot \frac{1}{7.4}\].

Для решения дальнейших действий, давайте выразим расстояние \(h\) через известные значения. Разделим обе части уравнения на \(\frac{M}{r^2}\):

\[\frac{(r^2)}{{(r + h)^2}} = \frac{1}{7.4}.\]

Перейдем к следующему шагу и избавимся от знаменателя, раскрыв скобки:

\[\frac{{r^2}}{{r^2 + 2rh + h^2}} = \frac{1}{7.4}.\]

Умножим обе части уравнения на \(r^2 + 2rh + h^2\):

\[r^2 = \frac{{r^2 + 2rh + h^2}}{7.4}.\]

Раскроем скобки в числителе:

\[7.4 \cdot r^2 = r^2 + 2rh + h^2.\]

Приведем подобные слагаемые:

\[7.4 \cdot r^2 - r^2 = h^2 + 2rh.\]

Упростим выражение:

\[6.4 \cdot r^2 = h^2 + 2rh.\]

Выразим \(h^2\) через \(2rh\) и \(6.4 \cdot r^2\):

\[h^2 = 6.4 \cdot r^2 - 2rh.\]

Теперь мы можем выразить \(h\) через \(r\) и другие известные значения. По условию задачи, радиус Земли \(R\) равен 6380 км. Мы хотим найти \(h\), при котором гравитационная сила будет в 7,4 раза слабее, чем на поверхности Земли.

Подставим известные значения в уравнение:

\[h^2 = 6.4 \cdot (6380 \, \text{км})^2 - 2 \cdot 6380 \, \text{км} \cdot h.\]

Выполним необходимые вычисления:

\[h^2 = 6.4 \cdot (6380 \, \text{км})^2 - 2 \cdot 6380 \, \text{км} \cdot h.\]

Вычислим значение выражения \(6.4 \cdot (6380 \, \text{км})^2\):

\[h^2 = 6.4 \cdot (6380 \, \text{км})^2 - 2 \cdot 6380 \, \text{км} \cdot h = 6.4 \cdot (40694400 \, \text{км}^2) - 127760 \, \text{км} \cdot h = 260741760 \, \text{км}^2 - 127760 \, \text{км} \cdot h.\]

Полученное уравнение является квадратным уравнением относительно \(h\). Чтобы найти его корни, установим его равным нулю и решим получившееся уравнение:

\[h^2 - 127760 \, \text{км} \cdot h + 260741760 \, \text{км}^2 = 0.\]

Решение квадратного уравнения даст нам два значения \(h_1\) и \(h_2\). Учитывая физический смысл задачи, нам интересно только положительное значение \(h\). Найденное значение \(h_1\) будет являться высотой над поверхностью Земли, при которой гравитационная сила будет в 7,4 раза слабее.

Подставим коэффициенты из уравнения в формулу решения квадратного уравнения \(h = \frac{{-b + \sqrt{D}}}{{2a}}\), где \(D = b^2 - 4ac\) - дискриминант:

\[h = \frac{{-(-127760 \, \text{км}) + \sqrt{(-127760 \, \text{км})^2 - 4 \cdot 1 \cdot 260741760 \, \text{км}^2}}}{{2 \cdot 1}}.\]

Упростим выражение внутри корня и выполним необходимые вычисления:

\[h = \frac{{127760 \, \text{км} + \sqrt{16368449600 \, \text{км}^2 - 1042967040 \, \text{км}^2}}}{{2}} = \frac{{127760 \, \text{км} + \sqrt{15325482560 \, \text{км}^2}}}{{2}}.\]

Рассчитаем значение выражения под корнем:

\[h = \frac{{127760 \, \text{км} + \sqrt{15325482560 \, \text{км}^2}}}{{2}} = \frac{{127760 \, \text{км} + 123920 \, \text{км}}}{{2}} = \frac{{251680 \, \text{км}}}{{2}} = 125840 \, \text{км}.\]

Таким образом, расстояние от поверхности Земли, где гравитационная сила на тело будет в 7,4 раза слабее, чем на поверхности Земли, составляет 125840 км (округлено до целого числа).