Каково расстояние между точкой A(1, 2, 3) и плоскостью с уравнением 3x - y - 3z - 3

Чтобы найти расстояние между точкой и плоскостью, мы можем использовать формулу, основанную на векторной алгебре.

Перед тем, как начать, давайте сначала разберем уравнение плоскости. У нас есть уравнение плоскости с коэффициентами: 3x - y - 3z - 3 = 0.

Обратите внимание, что уравнение у нас задано в общем виде Ax + By + Cz + D = 0, где A, B, C и D - это коэффициенты плоскости.

Теперь давайте найдем нормальный вектор к этой плоскости. Нормальный вектор показывает направление перпендикулярно плоскости.

Нормальный вектор можно получить, взяв коэффициенты x, y и z в уравнении плоскости и создав вектор (A, B, C).

В нашем случае нормальный вектор будет (3, -1, -3).

Теперь, когда у нас есть нормальный вектор, мы можем перейти к следующему шагу, чтобы найти расстояние.

1. Найдите проекцию вектора между точкой A и плоскостью на нормальный вектор.

Мы можем использовать формулу для проекции вектора на другой вектор:

Proj_AB = (dot_product(A, B) / dot_product(B, B)) * B

В нашем случае B - это нормальный вектор (3, -1, -3), а A - это вектор из точки A до произвольной точки на плоскости.

Таким образом, вектор AB будет (x2 - x1, y2 - y1, z2 - z1), где (x1, y1, z1) - координаты точки A, а (x2, y2, z2) - произвольная точка на плоскости.

2. Найдите длину проекции:

Len_proj_AB = sqrt(dot_product(Proj_AB, Proj_AB))

3. Расстояние между точкой A и плоскостью будет равно:

Distance = Len_proj_AB / sqrt(dot_product(B, B))

Теперь, зная эту информацию, мы можем приступить к вычислениям.

1. Подставим координаты точки A в уравнение плоскости:

3 * 1 - 1 * 2 - 3 * 3 - 3 = 0

3 - 2 - 9 - 3 = -11 ≠ 0

Точка A не лежит на этой плоскости.

2. Теперь найдем вектор AB:

AB = (x2 - x1, y2 - y1, z2 - z1)

Выберем произвольную точку на плоскости, например, (2, 0, -1):

AB = (2 - 1, 0 - 2, -1 - 3) = (1, -2, -4)

3. Теперь найдем проекцию вектора AB на нормальный вектор B:

Proj_AB = (dot_product(A, B) / dot_product(B, B)) * B

dot_product(A, B) = 1 * 3 + (-2) * (-1) + (-4) * (-3) = 3 + 2 + 12 = 17
dot_product(B, B) = 3 * 3 + (-1) * (-1) + (-3) * (-3) = 9 + 1 + 9 = 19

Proj_AB = (17 / 19) * (3, -1, -3) = (51/19, -17/19, -51/19)

4. Найдем длину проекции:

Len_proj_AB = sqrt(dot_product(Proj_AB, Proj_AB))

Len_proj_AB = sqrt((51/19)^2 + (-17/19)^2 + (-51/19)^2) = sqrt(2601/361 + 289/361 + 2601/361) = sqrt(4591/361)

5. Расстояние между точкой A и плоскостью будет:

Distance = Len_proj_AB / sqrt(dot_product(B, B))

Distance = sqrt(4591/361) / sqrt(19/361) = sqrt((4591/361) * (361/19)) = sqrt(4591/19) ≈ 10.75

Итак, расстояние между точкой A(1, 2, 3) и плоскостью с уравнением 3x - y - 3z - 3 = 0 составляет примерно 10,75 единиц.