Каково расстояние d между точкой P( -1; 1; -2) и плоскостью, которая проходит через три заданные точки: M1(1

Чтобы найти расстояние d между точкой P и плоскостью, через которые проходят три заданные точки M1, M2 и M3, нужно выполнить следующие шаги.

Шаг 1: Определение вектора нормали плоскости
Чтобы найти вектор нормали плоскости, возьмем два вектора, образованные парами точек на плоскости.

Возьмем вектор M1M2, который можно найти как разницу координат каждой точки: М1М2 = (x2 - x1, y2 - y1, z2 - z1).
M1M2 = (-2 - 1, -1 - (-1), 1 - 1) = (-3, 0, 0).

Теперь возьмем вектор M1M3: M1M3 = (x3 - x1, y3 - y1, z3 - z1).
M1M3 = (1 - 1, 1 - (-1), -2 - 1) = (0, 2, -3).

Теперь найдем векторное произведение этих двух векторов, чтобы получить вектор нормали плоскости. Для этого используем формулу:

Нормальный вектор плоскости = M1M2 × M1M3 = (a, b, c), где a, b и c - компоненты вектора нормали плоскости.

Теперь найдем их по формулам:
a = (0 × 0) - (-3 × 2) = 0 - (-6) = 6,
b = (0 × (-3)) - (0 × (-3)) = 0 - 0 = 0,
c = ((-3) × 2) - (0 × 0) = -6 - 0 = -6.

Таким образом, вектор нормали плоскости равен (6, 0, -6).

Шаг 2: Нахождение проекции вектора P - M1 на вектор нормали плоскости
Так как мы знаем точку P и точку M1, мы можем найти вектор, направленный из точки M1 в точку P (M1P). Для этого вычислим разницу между соответствующими координатами точек:

M1P = (x - x1, y - y1, z - z1).
M1P = (-1 - 1, 1 - (-1), -2 - 1) = (-2, 2, -3).

Теперь найдем проекцию вектора M1P на вектор нормали плоскости. Для этого используем следующую формулу проекции вектора A на вектор B:

Проекция вектора A на вектор B = (A · B) / |B|,
где A · B - скалярное произведение векторов A и B, а |B| - длина (модуль) вектора B.

Вычислим скалярное произведение M1P и вектора нормали плоскости:
M1P · Нормальный вектор плоскости = (-2 × 6) + (2 × 0) + (-3 × -6) = -12 + 0 + 18 = 6.

Теперь найдем длину (модуль) вектора нормали плоскости:
|Нормальный вектор плоскости| = √(6² + 0² + (-6)²) = √(36 + 0 + 36) = √72 = 6√2.

Теперь можем найти проекцию вектора M1P на вектор нормали плоскости:
Проекция M1P на нормальный вектор плоскости = (M1P · Нормальный вектор плоскости) / |Нормальный вектор плоскости| = 6 / (6√2) = 1 / √2 = √2 / 2.

Шаг 3: Нахождение расстояния d
Теперь мы можем найти расстояние d от точки P до плоскости, используя формулу:

d = |Проекция M1P на нормальный вектор плоскости| = |√2 / 2| = √2 / 2.

Итак, расстояние d между точкой P( -1; 1; -2) и плоскостью, которая проходит через три заданные точки: M1(1; -1; 1), M2(-2; 0; 0) и M3(3; 2; -2), равно \(\frac{\sqrt{2}}{2}\).