Каков объем правильной шестиугольной пирамиды, если длина одного из ее боковых ребер составляет 6, а радиус окружности

Для решения этой задачи, нам понадобится знать формулу для объема пирамиды. Объем правильной шестиугольной пирамиды можно найти с помощью следующей формулы:

\[V = \frac{1}{3} \times A \times h\]

где \(V\) - объем пирамиды, \(A\) - площадь основания пирамиды, \(h\) - высота пирамиды.

Чтобы найти площадь основания пирамиды, нам понадобится знать формулу для площади правильного шестиугольника. Площадь правильного шестиугольника можно найти с помощью следующей формулы:

\[A_{\text{шестиугольника}} = \frac{3 \sqrt{3}}{2} \times a^2\]

где \(A_{\text{шестиугольника}}\) - площадь шестиугольника, \(a\) - длина стороны шестиугольника.

Теперь, чтобы найти высоту пирамиды, нам понадобится знать теорему Пифагора, так как шестиугольник является прямоугольным треугольником с гипотенузой \(r\) (радиус окружности, описывающей основание шестиугольника) и катетом \(a\) (сторона шестиугольника).

Теорема Пифагора имеет вид:

\[r^2 = a^2 + h^2\]

Мы знаем, что \(r = 6\) (длина одного из боковых ребер пирамиды), поэтому можем переписать уравнение следующим образом:

\[6^2 = a^2 + h^2\]

Теперь мы можем решить это уравнение относительно \(h\). Подставим известные значения и найдем \(h\).

\[36 = a^2 + h^2\]

После решения данного уравнения найденное значение \(h\) можно подставить в формулу для объема пирамиды, чтобы найти ответ на задачу.

\[V = \frac{1}{3} \times A_{\text{шестиугольника}} \times h\]

Таким образом, чтобы решить данную задачу, нужно найти значение \(h\), затем использовать его, чтобы найти площадь основания пирамиды, а затем подставить все найденные значения в формулу для объема пирамиды. Обязательно укажите ответ с обоснованием каждого шага.