Каково приращение функции y=1/x, если x увеличивается

Для вычисления приращения функции \(y = \frac{1}{x}\) мы можем использовать производную. Найдем производную данной функции.

Производная функции \(y = \frac{1}{x}\) может быть найдена с помощью правила дифференцирования частного:
\((\frac{u}{v})" = \frac{u"v - v"u}{v^2}\)

В данном случае \(u = 1\) и \(v = x\). Таким образом:

\((\frac{1}{x})" = \frac{1"x - 1x"}{x^2}\)

Учитывая, что производная константы равна нулю, у нас остается:

\(\frac{-1}{x^2}\)

Это и есть производная функции \(y = \frac{1}{x}\).

Теперь, чтобы найти приращение функции, мы должны знать, как меняется \(x\). Если \(x\) увеличивается на \(h\), то новое значение \(x\) будет \(x + h\).

Приращение функции (назовем его \(\Delta y\)) может быть вычислено следующим образом:

\(\Delta y = f(x + h) - f(x)\)

Где \(f(x)\) - наша функция \(y = \frac{1}{x}\).

Подставляя \(f(x)\) и \(f(x + h)\) в формулу, получаем:

\(\Delta y = \frac{1}{x + h} - \frac{1}{x}\)

Теперь, чтобы выразить \(\Delta y\) в наиболее удобной форме, мы должны объединить две дроби в одну. Для этого найдем общий знаменатель:

\(\frac{1}{x + h} - \frac{1}{x} = \frac{x - (x + h)}{x \cdot (x + h)} = \frac{-h}{x \cdot (x + h)}\)

Таким образом, приращение функции \(y = \frac{1}{x}\), если \(x\) увеличивается на \(h\), будет равно \(\frac{-h}{x \cdot (x + h)}\).

Обратите внимание, что здесь нет конкретной цифры или числового значения, так как мы рассматриваем общие формулы и шаги для решения задачи. Теперь вы можете использовать эту формулу для вычисления приращения функции в зависимости от конкретных числовых значений \(x\) и \(h\).