На отрезке [-4;-1], найдите максимальное значение функции y= 16-x^3/x

Для начала, давайте разберемся с выражением функции y = 16 - \(\frac{x^3}{x}\). В данном случае, мы имеем отрезок [-4;-1] и нужно найти максимальное значение функции на этом отрезке.

Для начала, проанализируем функцию более подробно. Мы видим, что в знаменателе у нас имеется x. Так как у нас есть отрезок [-4;-1], который включает значение -1, то функция при таком значении x становится неопределенной, так как деление на ноль не определено. Поэтому, чтобы найти максимальное значение функции, нам нужно рассмотреть только интервал (-4; -1).

Теперь, чтобы найти экстремумы функции, найдем ее производную. Получим:

\(y" = -3x^2 - 1\)

Теперь, приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:

\(-3x^2 - 1 = 0\)

Решим это уравнение:

\(-3x^2 = 1\)

\(x^2 = \frac{-1}{3}\)

\(x = \sqrt{\frac{-1}{3}}\) (так как мы решаем вещественное уравнение, то мы берем только положительный корень)

\(x = \sqrt{\frac{1}{3}}\)

Таким образом, мы получаем критическую точку \(x = \sqrt{\frac{1}{3}}\).

Для того, чтобы определить, является ли это максимумом или минимумом функции, проверим знак второй производной. Найдем вторую производную:

\(y"" = -6x\)

Подставим \(x = \sqrt{\frac{1}{3}}\) во вторую производную:

\(y"" = -6 \cdot \sqrt{\frac{1}{3}}\)

\(y"" = -2 \cdot \sqrt{3}\)

Так как \(y"" < 0\), это означает, что в критической точке у нас будет локальный максимум.

Теперь, давайте найдем значение функции при \(x = \sqrt{\frac{1}{3}}\). Подставим данное значение в исходную функцию:

\(y = 16 - \frac{(\sqrt{\frac{1}{3}})^3}{\sqrt{\frac{1}{3}}}\)

\(y = 16 - \frac{\frac{1}{\sqrt{3}}}{\sqrt{\frac{1}{3}}}\)

\(y = 16 - \frac{1}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{\frac{1}{3}}}\)

\(y = 16 - \frac{1}{1}\)

\(y = 15\)

Таким образом, максимальное значение функции \(y= 16 - \frac{x^3}{x}\) на отрезке [-4;-1] равно 15 при \(x = \sqrt{\frac{1}{3}}\).